kleine Dirichlet-Funktion Stetigkeit

02.01.2014, 19:35

Duude

kleine Dirichlet-Funktion Stetigkeit

Hallo zusammen,
wir haben in unserem Aufschrieb die kleine Dirichlet-Funktion behandelt.
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ für jeden gekürzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$
und f(x)=0 für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist unstetig in jedem rationalen Punkt und stetig in jedem irrationalen Punkt.

Ich finde das etwas schwer vorstellbar, möchte aber gerne verstehen, warum das so ist und habe deshalb versucht es zu zeigen.

Es gilt:
f ist stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0} \forall_{x \in X} d_x(x,a)<\delta \Rightarrow d_y(f(a),f(x))< \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Das heißt anschaulich, dass wenn man leicht an x wackelt, f(x) auch nur leicht wackelt (und nicht z.B. springt)

Ich habe mir das bisher so überlegt:
zuerst zu f ist stetig in jedem irrationalen Punkt.
In jedem irrationalen Punkt ist g gleich 0. Betrachte also ein irrationales x. Nun finde ich in jeder Umgebung um x eine rationale Zahl p/q, für die g(p/q) sehr klein ist, da g(p/q)=1/q. Wenn ich die Umgebung nun noch kleiner mache, finde ich wieder eine solche rationale Zahl und so weiter. Es gibt also sozusagen "direkt neben" meinem x eine rationale Zahl, deren Funktionswert sehr klein ist. Deshalb ist f in jedem irrationalen Punkt stetig.

f ist unstetig in jedem rationalen Punkt
denn sei p/q irgendein rationaler Punkt (p/q sei gekürzter Bruch), dann gilt g(p/q)=1/q und ich finde in jeder Umgebung eine andere rationale Zahl p'/q' mit mit q' ungleich q und g(p'/q')=1/q'. Damit muss f also einen Sprung machen und hat hier eine Unstetigkeitsstelle.

Das alles geht so, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt.

Ich weiß, meine Argumentation ist mathematisch noch nicht so ganz richtig ausformuliert.. Ich habe es bisher nicht besser hinbekommen und mir geht es auch erstmal um das grundlegende Verständnis dieser Funktion

Freue mich über Anmerkungen.
lg Duude

02.01.2014, 19:51

Che Netzer

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RE: kleine Dirichlet-Funktion Stetigkeit

Zitat:

Original von Duude
wir haben in unserem Aufschrieb die kleine Dirichlet-Funktion behandelt.

Ungewöhnlicher Name.
Vielleicht findest du unter dem Namen "Thomaesche Funktion" mehr dazu.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\frac{p}{q})=\frac{1}{q} \end{eqnarray*}$ für jeden gekürzten Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht wohldefiniert. Was ist die gekürzte Bruchdarstellung von Null? Und schreibt ihr $\begin{eqnarray*} -1=\frac{-1}1=\frac1{-1} \end{eqnarray*}$ zur Definition der Funktion?

Zitat:

Es gibt also sozusagen "direkt neben" meinem x eine rationale Zahl, deren Funktionswert sehr klein ist. Deshalb ist f in jedem irrationalen Punkt stetig.

Das zeigt gar nichts. Für Stetigkeit müssten die Funktionswerte in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ klein sein, nicht nur an einer einzelnen Stelle.

Zitat:

Damit muss f also einen Sprung machen und hat hier eine Unstetigkeitsstelle.

Woher weißt du, dass (anschaulich gesprochen) $\begin{eqnarray*} q' \end{eqnarray*}$ nicht nahe bei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ liegt?

02.01.2014, 20:29

Duude

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Zitat:

Das ist nicht wohldefiniert. Was ist die gekürzte Bruchdarstellung von Null? Und schreibt ihr $\begin{eqnarray*} -1=\frac{-1}1=\frac1{-1} \end{eqnarray*}$ zur Definition der Funktion?

hm, wir hatten sie genauso definiert. Wenn wir uns auf (0,1) als Definitionsbereich einschränken würden, hätten wir diese Probleme nicht und trotzdem eine Funktion deren Stetigkeit/Unstetigkeit sehr interessant ist. Oder man könnte noch f(0)=0 definieren. 0 kann man als Bruch ja nicht darstellen, es sei denn man betrachtet $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \infty \end{eqnarray*}$ , dann könnte man die Null vllt so erhalten: $\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das zeigt gar nichts. Für Stetigkeit müssten die Funktionswerte in einer ganzen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ klein sein, nicht nur an einer einzelnen Stelle.

Wenn ich mir die Funktion anschaue, sieht man gewissermaßen, was zu zeigen ist. Die Funktionswerte in einer Umgebung von einem Funktionswert, der gleich 0 ist, sind klein. Mathematisch bekomme ich das aber noch nicht so richtig hin. Angenommen ich habe eine irrationale Zahl x, dann ist zu zeigen, dass die Funktionswerte nicht mehr als delta schwanken, wenn ich mich um epsilon von x wegbewege.
Vielleicht hilft es, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt, während es nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt, dass die irrationalen Zahlen also mehr sind, als die rationalen.
Eine Plausibilitätserklärung kommt unten noch.

[attach]32517[/attach]

Zitat:

Woher weißt du, dass (anschaulich gesprochen) $\begin{eqnarray*} q' \end{eqnarray*}$ nicht nahe bei $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ liegt?

Hier könnte man so argumentieren:
Wir wissen, dass jeder Funktionswert 1/q höchstens q-1mal auftritt und auch stets im Abstand 1/q. Beim q-ten Mal, wäre z.B. 3/3=1 also kein gekürzter Bruch mehr.

z.B. f(x)=1/5 tritt 4mal auf. Allerdings immer im Abstand (auf der x-Achse von 1/5). Also nich tin einer kleinen Umgebung. Die nächste Zahl, deren Funktionswert mit 1/q in der Nähe liegt ist 1/6 oder 1/4. Allerdings sind diese so weit weg, dass zwischendrin ganz viele andere rationale Zahlen liegen, deren Funktionswerte nicht in einer Umgebung von 1/5 liegen. Analog kann man im Allgemeinen argumentieren.

Diese Argumentation bedeutet insb. dass jeder Funktionswert (außer der Null) höchstens abzählbar oft vorkommt. Je kleiner q ist, desto häufiger tritt der entsprechende Funktionswert auf, bis hin zu überabzählbar vielen Funktionswerten die gleich 0 sind. Dies ist der Übergang hin zu den Funktionswerten 0.

Dies macht anschaulich klar, warum es plausibel erscheint, aber noch nicht, warum in einer kleinen Umgebung um eine irrationale Zahl nicht plötzlich eine rationale Zahl auftreten kann, deren Funktionswert wesentlich größer als 0 ist...

02.01.2014, 23:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
Oder man könnte noch f(0)=0 definieren.

Dann wäre die Funktion aber stetig in Null.
Man könnte $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} 0=\frac01 \end{eqnarray*}$ setzen.

Zitat:

Angenommen ich habe eine irrationale Zahl x, dann ist zu zeigen, dass die Funktionswerte nicht mehr als delta schwanken, wenn ich mich um epsilon von x wegbewege.

Üblicherweise wählt man Epsilon und Delta andersherum.

Zitat:

Vielleicht hilft es, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen gibt, während es nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt, dass die irrationalen Zahlen also mehr sind, als die rationalen.

Und wie würdest du dir das zunutze machen wollen?

Zitat:

Wir wissen, dass jeder Funktionswert 1/q höchstens q-1mal auftritt und auch stets im Abstand 1/q. Beim q-ten Mal, wäre z.B. 3/3=1 also kein gekürzter Bruch mehr.

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \frac43 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac53 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac73 \end{eqnarray*}$ etc.?

So funktioniert das jedenfalls nicht. An jeder rationalen Stelle ist der Funktionswert jedenfalls von Null verschieden. Wäre die Funktion dort stetig, würde sie auch in einer Umgebung davon von Null verschieden sein.

Zitat:

Diese Argumentation bedeutet insb. dass jeder Funktionswert (außer der Null) höchstens abzählbar oft vorkommt.

Das ist ohnehin klar, denn die Nullstellenmenge der irrationalen Zahlen enthält bereits alle bis auf abzählbar viele Zahlen.

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