Topologie: für U Teilmenge des R^n sind Zusammenhang und Wegzusammenhang äquivalent, Frage zu Beweis

03.01.2014, 00:14

Duude

Topologie: für U Teilmenge des R^n sind Zusammenhang und Wegzusammenhang äquivalent, Frage zu Beweis

Hallo,

Wir haben im in der Vorlesung einen Beweis gemacht, allerdings war er eher skizzenhaft, sodass ich ihn hier ausformuliert habe. Würde mich also über Rückmeldungen freuen, ob das alles stimmt und an einer Stelle habe ich noch eine Frage:

ich möchte folgendes zeigen:
Für $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen sind Zusammenhang und Wegzusammenhang äquivalent.

Allgemein gilt, dass aus Wegzusammenhang Zusammenhang folgt.

noch zu zeigen: U ist zusammenhängend folgt U ist wegzusammenhängend.

Es sei also U offen und zusammenhängend.
Fall 1: U ist die leere Menge. Dann gilt, U ist wegzusammenhängend. Das gilt nach Definition denn

Wir nennen den metrischen Raum (X,d) wegzusammenhängend $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jede offene Zerlegung $\begin{eqnarray*} X=A\sqcup B \end{eqnarray*}$ (disjunkte Vereinigung) gilt $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B=\emptyset \end{eqnarray*}$

Im Fall der leeren Menge gilt eben A und B sind beide die leere Menge.

Fall 2: Sei U offen und nichtleer. Also $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ .
Sei A die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ , die von a durch einen Weg in U erreichbar sind.
Sei B die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ , die von a nicht durch einen Weg in U erreichbar sind.

Es gilt $\begin{eqnarray*} U=A\sqcup B \end{eqnarray*}$
Sowohl A als auch B sind offen (Warum gilt das?)
Wegen $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Also muss gelten, $\begin{eqnarray*} B = \emptyset \end{eqnarray*}$ (wegen der Definition von zusammenhängend)
Also gibt es keine Punkte, die nicht von a durch einen Weg in U erreichbar sind.
Also ist U zusammenhängend.

03.01.2014, 00:47

dastrian

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RE: Topologie: für U Teilmenge des R^n sind Zusammenhang und Wegzusammenhang äquivalent, Frage zu Be
Hi!

Also hab ich das richtig verstanden, dass du nur zum fett gedruckten eine Frage hast? Das lässt sich relativ leicht beantworten, weil wir uns im eunklidischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ befinden, denn dort bilden die "Bälle" der Form
$\begin{eqnarray*} B(x, \epsilon) := \{ y \in \mathbb{R}^n : |y-x|<\epsilon \} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
eine Basis der Topologie, soll heißen: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen der Form, wie sie oben steht. (Im eindimensionalen sind das die offenen Intervalle, im zweidiemseionalen offene Kreisscheiben, im dreidimensionalen offene Bälle).

Eine Vorbemerkung noch zum Beweis: Jede Menge $\begin{eqnarray*} B(x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ ist wegzusammenhängend. (Beweis ziemlich einfach)

So, nun zu dem Beweis, an der Stelle, an der das fettgedruckte stand.
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist offen, denn: sei $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist also $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ , und da $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen ist, gibt es $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} B(a, \epsilon) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Nach unserer Vorbemerkung ist dann ganz $\begin{eqnarray*} B(a, \epsilon) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten.
Genauso für B.

Beachte, dass die bewiesene Äquivalenz NUR gilt, wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ offen ist, d.h. im Thread-Titel steht eine falsche Aussage!

Hoffe, dass ich helfen konnte!

03.01.2014, 10:18

Che Netzer

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RE: Topologie: für U Teilmenge des R^n sind Zusammenhang und Wegzusammenhang äquivalent, Frage zu Be

Zitat:

Original von Duude
Wir nennen den metrischen Raum (X,d) wegzusammenhängend $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jede offene Zerlegung $\begin{eqnarray*} X=A\sqcup B \end{eqnarray*}$ (disjunkte Vereinigung) gilt $\begin{eqnarray*} A=\emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B=\emptyset \end{eqnarray*}$

Wirklich?

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