Ist die Wurzel aus einem Binom irrational?

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Tirima Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Wurzel aus einem Binom irrational?
Meine Frage:
Hallo,

dies hier ist mein erster Beitrag im Matheboard. Ich arbeite nun schon länger an einem bestimmten Problem und komme an einer bestimmten Stelle nicht weiter.

Es geht um einen Mathematischen Beweis bzw. Beweise.

Für a, b, n und k gilt, dass Sie alle Elemente der natürlichen Zahlen sind.
k ist größer als 0. n ist größer als 2.
a und b sind ungerade und teilerfremd.



1a. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


1b. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


2a. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


2b. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


3a. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


3b. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?


4. Ist



zwangsläufig irrational? Wenn ja oder nein, wieso?



5. Und nun zum Abschluß. Ist der Ausdruck aus 4. zwangsläufig irrational, wenn (k+1) gleich einem Vielfachen von n ist? Wieso?


Ich sitze daran nun schon lange, sehr lange an diesem Problem. Da ich nun einfach keine andere Möglichkeit sehe das zu beweisen wende ich mich an euch. Habt ihr Ideen?
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Antwort auf die Fragen 4 und 5 "Ja" lauten, kann es aber einfach nicht beweisen.


Für Ideen und vielleicht sogar Lösungen danke ich euch sehr. Wenn ihr mir Punkt 5 erklären könnt (Es handelt sich dabei nämlich nur um ein Teilproblem), dann habt ihr mir das letzte Puzzlestück zu einem Rätsel gegeben, an dem ich seit 3 oder 4 Jahren sitze.



LG,
Tirima

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Ahnung, ich stehe komplett an. Es hat wahrscheinlich etwas damit zu tun, dass (a+(2^k) b)(a-(2^k) b) keine Quadratzahl sein kann (ich wüsste aber nicht wieso?). Ich weiß einfach wirklich nicht weiter.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fang einfach mal an.

Die Frage 1 a) lässt sich leicht bearbeiten.

Mit Hilfe einiger leichten Umformungen kommt man darauf, dass die Frage auf reduzierbar ist mit c natürlicher Zahl oder zumindest reel. Das ist für pythagoräische Trippel sicher der Fall.

Das gleiche sollte sich auch für 2a nochmal ausschlachten lassen.
Tirima Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, verstehe, du setzt den ganzen Term mit c gleich, quadrierst dann damit die Wurzel verschwindet und multiplizierst einfach die Klammern aus.

Somit können die Ausdrücke 1a. und 2a. sehr wohl auch rational sein wenn sie quadriert werden und müssen nicht gezwungen irrational sein, aber es geht ja darum, dass sie nicht quadriert werden.



Beim Beweis, dass



irrational ist reicht es ja nicht zu beweisen, dass



rational ist denn von der Rationalität von kann nicht auf die Rationalität von geschloßen werden.


Ok, es gibt somit sehr wohl Belegungen von a und b, bei denen sowohl der Orginalausdruck, als auch das Quadrat rational sind (a ist die Hypotenuse eines pythagoräischen Tripels und b eine der Katheten), aber weil das Quadrat des Ausdrucks rational ist bedeutet doch nicht automatisch, dass der Ausdruck selbst rational ist?

Also für alle a und b ist das Quadrat auf jeden Fall rational, die Wurzel (also der Originalausruck) aber nur für pythagoräoische Tripel.

Die Antwort für 1a. und 1b. ist somit "Nein", es ist sehr wohl möglich, dass bei bestimmten Belegungen der Ausdruck rational ist. Er ist also nicht gezwungenermaßen irrational. Danke für den Anstoß.




Jetzt wäre es interessant zu wissen, wie sich das bei hoch 1/n oder bei 2/n verhält. Ist bei einem der Ausdrücke, egal wie die Belegung von a und b ist, der Ausdruck immer irrational?



Das hilft mir auch schon bei 4. weiter, aber da ist noch das Problem das hoch 1/n bzw. das hoch 2/n.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Die Erklärung war nur zum Verständnis gedacht, wie man an eine Lösung kommen kann, ob dies dann auch tatsächlich eine Lösung ist, sollte man wenn man quadriert natürlich nachprüfen.

Für den Fall 1a ist eben a=5, b=3 eine Möglichkeit auf ein rationales Ergebnis zu kommen.

Im Allgemeinen werden die Ergebnisse für beliebige a und b eher irrational als rational sein.

Der Fall 2/n als Exponent lässt sich auf 1/2 zurückführen mit n=4, ob es weitere Lösungen gibt weiß ich gerade nicht.

Wozu genau brauch man sowas eigentlich in der Schule?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist die Wurzel aus einem Binom irrational?
hallo,
diese aufgabe ist toll und sehr durchtrieben.
Also, für 1a), 1b) und 2a) lassen sich leicht gegenbeispiele finden.
Bei den anderen fällen (also ab 2b) muss man immer an primfaktorenzerglegung denken und
es ist sehr wichtig, das a und b teilerfremd sind, dass heisst also mindestens einer vor beiden
ungerade sein muss und dass dann z.B. a+2b nur einmal durch 2 teilbar sein kann. Darauf bauen
alle überkgegungen und beweise bei den restlichen aufgaben auf...
gruss ollie3
Tirima Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich brauche es eigentlich nur sehr sehr entfernt für die Schule *g*. Es handelt sich hier um ein Problem, welches aus einem anderen Problem folgt und stammt noch aus meiner Studienzeit.

Das Originalproblem damals habe ich auch gelöst, (ich weiß nicht einmal mehr um was es genau ging), in bin nur in weiterer Folge auf ein anderes Problem gestoßen auf welches ich auch unbedingt die Antwort finden wollte.



Witzigerweise habe ich beim Bearbeiten des Problems sogar einen neuen Beweis für den Satz des Pythagoras gefunden. Also "neu", ich kannte ihn noch nicht und habe diesen Beweis auch noch nirgends gefunden, allerdings muss ich zugeben, dass ich auch nicht zu tief danach recherchiert habe. Wenn ihr daran interessiert seid, kann ich ihn euch ja einmal zeigen. smile



Gegen Ende des Studiums hatte ich dann auch nicht mehr die Zeit mich damit zu beschäftigen (da treten andere Dinge in den Vordergrund), es blieb aber immer in einer Ecke im Hinterkopf und kommt dann und wann zum Vorschein.

Und nun raubt mir dieses kleine Problem ab und an den Schlaf. Ich weiß, dass dieses ganze große Problem erledigt ist wenn ich 4. ODER 5. beweisen kann (Es reicht eines der beiden). Aber ich komme einfach nicht drauf wie ich die Irrationalität begründen könnte.




@ollie3:
Sowohl a, als auch b sind ungerade und teilerfremd.
Der Ansatz ist aber interessant. Wenn a und b ungerade sind, dann muss a+2b auch zwangsläufig ungerade sein, genau so wie a-2b. Daraus folgt auch, dass jedes ungerade sein muss.
Es ist nicht a ODER b ungerade, sondern beide.



Erster Gedankengang:
Hm, ich habe mal wieder ein bisschen herumüberlegt und man kann den Ausdruck



auch als



darstellen. Bringt das vielleicht mehr?



Zweiter Gedankengang:
und sind beide ungerade. Aber sind sie gezwungenermaßen auch teilerfremd?
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ich habe auch weiter über diese aufgabe nachgegrübelt (und sorry, dass a und b beide ungerade
sein müssen, hatte ich übersehen).
Also ich glaube ja immer noch, dass man das über die eindeutigkeit der primfaktorenzerlegung
beweisen kann. Denn z.B. bei aufgabe 2b) würde das heissen, es gibt ein c mit
(a+2b)(a-2b)=c^n, und wenn man sich die primfaktorzerlegung von c anguckt, müsste jeder primfaktor von c wegen n>=3 mindestens 3 mal in dem produkt (a+2b)(a-2b) vorkommen, und
das muss man irgendwie zum widerspruch führen können, das ist der derzeitige stand meiner
überlegungen...
gruss ollie3
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