Ab der wievielten Dezimalstelle unterscheiden sich pi/12 und 2 - sqrt3

03.01.2014, 09:20

Kubus

Ab der wievielten Dezimalstelle unterscheiden sich pi/12 und 2 - sqrt3

Meine Frage:
Internet ?
Taschenrechner ?
Mathematikprogramme ?

Meine Ideen:
Hat man andere Möglichkeiten, als dem Konsens verschiedenerTaschenrechner zu glauben?

03.01.2014, 18:39

dastrian

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RE: Ab der wievielten Dezimalstelle unterscheiden sich pi/12 und 2 - sqrt3

Zitat:

Original von Kubus
Hat man andere Möglichkeiten, als dem Konsens verschiedenerTaschenrechner zu glauben?

Nachrechnen halt. Man nimmt sich eine Folge, die gegen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ konvergiert, und kann daraus nach und nach die Dezimalstellen bestimmen. Je geeigneter die Folge, desto schneller/einfacher geht das. Man könnte z.B. die Einschreibung und Umschreibung von Vielecken um einen KReis beginnen und darus näherungsweise die Kreiszahl berechnen, deren Wert jeweils zwischen Einschreibungs- und Umschreibungswert liegen muss. Wenn diese bei einem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck bis zur $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -ten Stelle dieselbe Dezimalentwicklung haben, so hat auch $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bis zur $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -ten STelle diese Dezimalentwicklung.
Nun vergleicht man mit $\begin{eqnarray*} 2 - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ , indem man auf die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te Stelle abrundet, zwei abzieht und dies quadriert davon das negative nimmt. Falls dies kleiner als 3 ist, mach man dasselbe nochmal mit dem auf die $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -te Stelle aufgerundetem Wert.

Das wäre so ungefähr mein Vorgehen von Hand. Das Schöne an der Neuzeit ist, dass es so viele Mittel und Wege gibt, diesen ganzen Aufwand zu vermeiden. smile

Wieso willst du ihn dir denn machen?

03.01.2014, 18:45

HAL 9000

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Eventuell hat Kubus auch irgend eine Abschätzung im Sinn basierende auf der Arcustangens-Reihe

$\begin{eqnarray*} \arctan(x) = x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} +- \ldots \end{eqnarray*}$ ,

da ja der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \arctan(2-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{12} \end{eqnarray*}$ besteht.

P.S.: Es wäre hilfreich, solche Anfragen nicht von dem anderen Thread

Dreieck mit größtmöglicher kleinster Seite für innerhalb eines Rechtecks gesucht (ggf einbeschriebn)

zu lösen, in dessen Zusammenhang ja wohl diese Frage aufgetaucht ist.

03.01.2014, 22:14

Kubus

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Danke Ihnen/Euch beiden! Freude

^4;

^7. Fulminant! Dastrian zeigt mir den richtigen Lösungsweg und HAL 9000 beschützt mich davor, mein ganzes weiteres Leben erfolglos damit zu verbringen, ihn zu beschreiten.

Werden wenigstens meine Kindes- und Kindeskinder mit ihren schnelleren Computern dereinst die Lösung finden? Wieso aber ziele ich auf diesen Aufwand? Nun, mein Glaube an pi und die Wurzel aus drei begann zu bröckeln, und da wollte ich mich mit etwas Misstrauen in die Rechner wieder aufrichten. Augenzwinkern

Aber wahrscheinlich sollte ich künftig besser glauben, dass soweit Menschen und Maschinen rechnen können, die Hinterkommadezimalstellen von pi und der Differenz aus 24 und 12mal qWurzel_aus_3 ausnahmslos im Gleichschritt ins immer Kleinere differenzieren, und zwar egal aus welchen Folgen man sie zu bestimmen sucht.

(und nun wieder zurück zur größten kleinsten Dreiecksseite...)

03.01.2014, 23:53

HAL 9000

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Wenn ich mir deine blumigen Antworten so durchlese - hier und auch in anderen Threads - dann kann ich nur aus Hamlet zitieren:

"Mehr Inhalt, weniger Kunst!"

Denn als Helfer bin ich einigermaßen ratlos, was ich damit anfangen soll bzw. inwieweit meine Antworten inhaltlich angekommen sind. Augenzwinkern

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