Stetigkeit einer Wurzelfunktion per Epsilon-Delta-Kriterium

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03.01.2014, 09:51	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer Wurzelfunktion per Epsilon-Delta-Kriterium Meine Frage: Liebe Community! Es geht um folgende Aufgabe: Zu zeigen ist, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit folgender Vorschrift $\begin{eqnarray} f(x)= \sqrt[3]{x^{2}+2} \end{eqnarray}$ stetig ist, verwendet werden darf nur das Epsilon-Delta-Kriterium. Meine Ideen: Mir geht es nun vor allem darum, dass ich lerne, von Grund auf zu verstehen, wie dieses Beispiel funktioniert. Ich verwende die Definition der Stetigkeit, die besagt, dass eine Funktion stetig in einem Punkt $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ ist, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \Delta > 0 \end{eqnarray}$ gibt, sodass gilt: $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb R mit \|x-x_{0}\| < \delta gilt: \|f(x)-f(x_{0})\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Nun habe ich bereits im Internet recherchiert und irgendwie wird dann immer eine Abschätzung der Ungleichung mit Epsilon gemacht, die dann auf eine Bedingung für Delta führt - bloß verstehe ich den Verlauf der Rechnungen nie so ganz. Vielen Dank für eure Hilfe.
03.01.2014, 10:46	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, fang erstmal an mit $\begin{eqnarray} \| f(x)-f(x_0) \| \end{eqnarray}$ . Kannst du das schon irgendwie vereinfachen?
03.01.2014, 11:50	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das wäre ausgeschrieben dann: $\begin{eqnarray} \|\sqrt[3]{x^{2}+2} - \sqrt[3]{x_{0}^{2}+2}\| \end{eqnarray}$ Aber da kann ich ja keine Rechnregel für Wurzeln darauf anwenden, oder?
03.01.2014, 12:01	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Nicht direkt, das Ziel sollte nun aber auch sein, den Term nach oben abzuschätzen. Wir suchen also eine Abschätzung von $\begin{eqnarray} \| \sqrt{a}-\sqrt{b} \| < \dots \end{eqnarray}$ , die am besten auch noch einfacher aussieht. Fällt dir da vielleicht schon eine ein?
03.01.2014, 12:07	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, abschätzen... Mal sehen, die Ausdrücke in den einzelnen Wurzeln sind sicher größer als 1, daher sind auch die Wurzeln selbst größer als 1, also gilt: $\begin{eqnarray} \|\sqrt[3]{x^{2}+2} - \sqrt[3]{x_{0}^{2}+2}\| < \|{x^{2}+2} - {x_{0}^{2}+2}\| = \|x^{2} - x_{0}^{2}\| = \|(x+x_{0})(x-x_{0})\| = \|(x+x_{0})\|\|(x-x_{0})\| \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Jetzt erinnere ich mich, dass in einigen anderen ähnlichen Beispielen verwendet wurde, dass $\begin{eqnarray} \|(x+x_{0})\|<\delta \end{eqnarray}$ gilt. Wäre das der richtige Weg?
03.01.2014, 12:12	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Verzeihung, gemeint war natürlich $\begin{eqnarray} \|(x-x_{0})\|<\delta \end{eqnarray}$
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03.01.2014, 12:40	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass geht. Mit $\begin{eqnarray} \| x- x_0 \| < \delta \end{eqnarray}$ ergibt sich dann $\begin{eqnarray} \| (x+x_0) \cdot (x-x_0) \| < \|x+x_0\| \cdot \delta \end{eqnarray}$ , jetzt musst du noch $\begin{eqnarray} \| x+ x_0 \| \end{eqnarray}$ wegbekommen.
03.01.2014, 12:42	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Braucht man da eine Fallunterscheidung für den Betrag? Und wie passt das Ganze jetzt mit dem Eps./Del. - Kriterium zusammen?
03.01.2014, 12:50	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst in dem Betrag eine Null addieren und mit der Dreiecksungl. abschätzen. Und wir müssen noch aufpassen, das wir das Delta so wählen, dass die erste Ungleichung gilt.
03.01.2014, 13:50	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dreiecksungleichung kann ich doch direkt auch anwenden, oder? Damit dann gilt: $\begin{eqnarray} \| x+x_0 \| \delta < \|x\|\delta + \|x_0\|\delta \end{eqnarray*}$
04.01.2014, 11:52	algo-rythm	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde es denn nun nach der Abschätzung weitergehen? Irgendwie fehlt mir da noch der letzte Schritt... Danke auf jeden Fall mal bis hier! :-)

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