Stetige Abbildungen

03.01.2014, 10:16

Hallagar

Stetige Abbildungen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left\{ 0, falls x \notin \mathbb Q \right\} <br /> \left\{ 1, falls x = \frac{p}{q}, mit q \in \mathbb N, p\in \mathbb (N\cup{0}) und p, q Teilerfremd\right\} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie dass f in x genau dann stetig ist, wenn $\begin{eqnarray*} x \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Moin moin,
wie so ziemlich jede Aufgabe meines Mathe-Übungsblatts handelt auch dieser von stetigen Abbildungen. Leider habe ich das Problem, dass ich die Definition noch nicht so ganz durchblickt habe und auch nach Unterhaltungen mit meinem Bruder (der auch mit mir Mathe studiert) nicht weiter kam. Daher wende ich mich an euch in der Hoffnung das Ganze vielleicht doch noch zu verstehen, denn spätestens in einem Monat zur Klausur gehts ja eh nicht mehr ohne.

Unsere Definition lautet:
Sei $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung zwischen metrischen Räumen.
a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt stetig in $\begin{eqnarray*} x \in X \leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(U_{\delta}(x)) \subseteq f(U_{\epsilon}(x)) \end{eqnarray*}$ d.h. aus $\begin{eqnarray*} d_{X}(x, x') < \delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} d_{Y}(f(x), f(x')) < \epsilon \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißst stetigauf $\begin{eqnarray*} X \leftrightarrow f \end{eqnarray*}$ ist in jedem $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ stetig.

Wie gesagt, leider verstehe ich mit der Definition nicht umzugehen, daher komme ich bei meinen Aufgaben kein Stück voran.
Ich wäre daher sehr Dankbar wenn sich jemand das Mammutprojekt vornehmen würde mir eben diese Definition und deren Anwendung zu erklären. smile

Liebe Grüße,
Hallagar.

03.01.2014, 10:50

Leopold

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Irgendetwas stimmt bei deinem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht. Warum der Riesenaufwand bei der Definition von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für rationale $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn sowieso immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ der Funktionswert sein soll? $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ muß doch irgendwie von $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ abhängen ...

Für Fallunterscheidungen in LATEX verwende

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} a, & \text{falls} \ \mathfrak{A} \\ b, & \text{falls} \ \mathfrak{B} \end{cases} \end{eqnarray*}$

(Klicke auf den Knopf "Zitat", um den Code zu sehen.)

03.01.2014, 10:56

Hallagar

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Danke erstmal für deine Verbesserung für Latex - auch da bin ich immernoch am lernen. smile

Habe mal die Aufgabe als Screenshot angefügt,
steht bei mir aber so da.

03.01.2014, 11:36

Leopold

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Man nutzt aus, daß in einer Umgebung einer irrationalen Zahl nur endlich viele rationale Zahlen mit beschränktem Nenner liegen. Vielleicht ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \xi = \frac{1}{\pi} = 0{,}318309 \ldots \end{eqnarray*}$

Wir geben $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}2 \end{eqnarray*}$ vor.

Dann gibt es nur endlich viele rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ (wie in der Definition beschrieben) mit $\begin{eqnarray*} q \leq \frac{1}{\varepsilon} = 5 \end{eqnarray*}$ . Hier wären das konkret

$\begin{eqnarray*} 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

Eine von diesen rationalen Zahlen muß am nächsten zu $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ liegen. Hier ist das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Der Abstand beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} - \xi = 0{,}015023 \ldots \end{eqnarray*}$
Jetzt nimmt man ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , welches diesen Abstand nicht übersteigt, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \delta = 0{,}01 \end{eqnarray*}$ .

Warum muß nun $\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein, wenn nur $\begin{eqnarray*} \left| x - \xi \right| < \delta \end{eqnarray*}$ ist? Unterscheide die Fälle, daß $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rational (nichttrivial) oder irrational (trivial) ist.

Natürlich ist das nur ein Beispiel. Aber wenn du das verstanden hast, ist es kein großer Schritt mehr, von dem konkreten $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}2 \end{eqnarray*}$ auf ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und von dem konkreten $\begin{eqnarray*} \xi = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ auf ein beliebiges irrationales $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ überzugehen.

03.01.2014, 12:04

Hallagar

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So, mal schauen ob meine Überlegungen so stimmen:

1. Fall $\begin{eqnarray*} x \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ in unserem Fall auch irrational ist wird $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow |0 - 0| = 0 < \delta = 0,1 \end{eqnarray*}$
Stimmt also.

2. Fall $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$
In diesem Beispiel ist dann $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und damit in diesem Beispiel auch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ Dann kommt wieder $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow |\frac{1}{3} - 0| = \frac{1}{3} > \delta = 0,1 \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ in diesem Beispiel nicht stetig.

03.01.2014, 14:57

Hallagar

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Also falls noch jemand da ist - ich bräuchte da noch Hilfe. :/
Ich kapiere das noch nicht so ganz.
Ich nehme mir ein irrationales $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , da ich es ja gerade für diese zeigen soll, dass f in diesen x stetig ist.
Dann bilde ich mir eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung um mein x. Ich erhalte also irgendwie ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z - x| < \delta \end{eqnarray*}$ oder nicht?
Dann sei noch ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben.
Und jetzt mache ich eine Fallunterscheidung, ob z rational oder irrational ist.

1. Fall $\begin{eqnarray*} z \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(z) = 0, f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |0 - 0| = 0 < (\epsilon > 0) \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} z = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(z) = \frac{1}{q} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\frac{1}{q} - 0| = \frac{1}{q} \end{eqnarray*}$
Und wie mache ich das jetzt, dass dieser Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist?

Wie gesagt, es sind noch einige kleine Lücken da, und es wäre super, wenn mir die noch jemand beantworten könnte. smile

Liebe Grüße,
Hallagar.

03.01.2014, 15:47

Leopold

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Zitat:

Original von Hallagar
So, mal schauen ob meine Überlegungen so stimmen:

1. Fall $\begin{eqnarray*} x \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ in unserem Fall auch irrational ist wird $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow |0 - 0| = 0 < \delta = 0,1 \end{eqnarray*}$
Stimmt also.

2. Fall $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$
In diesem Beispiel ist dann $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und damit in diesem Beispiel auch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ Dann kommt wieder $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow |\frac{1}{3} - 0| = \frac{1}{3} > \delta = 0,1 \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ in diesem Beispiel nicht stetig.

Das stimmt leider gar nicht.

Im Beispiel mußt du alle (!!!) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachten, die zu $\begin{eqnarray*} \xi = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ einen Abstand $\begin{eqnarray*} < 0{,}01 \end{eqnarray*}$ haben. Das ist hier vorausgesetzt, nicht behauptet! Und für alle (!!!) diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mußt du nachweisen, daß ihre Funktionswerte vom Funktionswert von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ einen Abstand kleiner $\begin{eqnarray*} 0{,}2 \end{eqnarray*}$ haben: $\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| < 0{,}2 \end{eqnarray*}$ ist also zu zeigen.

Ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann irrational sein. Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Und ebenso $\begin{eqnarray*} f(\xi) = 0 \end{eqnarray*}$ . Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| < 0{,}2 \end{eqnarray*}$ ist also trivialerweise erfüllt.

Aber ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (also eines mit $\begin{eqnarray*} \left| x - \xi \right| < 0{,}01 \end{eqnarray*}$ ) könnte ja auch rational sein. Warum gilt dann $\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| < 0{,}2 \end{eqnarray*}$ ? Beachte, warum ich gerade $\begin{eqnarray*} \delta = 0{,}01 \end{eqnarray*}$ genommen hatte. Für $\begin{eqnarray*} \delta = 0{,}02 \end{eqnarray*}$ würde das zum Beispiel nicht funktionieren.

03.01.2014, 15:59

Hallagar

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Okay, also dass mein obiger Post quatsch war dachte ich mir schon, nachdem ich mir das jetzt nochmal die ganze Zeit angeschaut hatte.
Wenn das x irrational ist, ist es trivial, stimmt schon. Aber wenn's irrational ist bin ich irgendwie etwas verwirrt.
In diesem Beispiel müsste der Funktionswert der rationalen Zahl ja $\begin{eqnarray*} f(x) < \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ sein, damit am Ende $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(\xi)| < \epsilon = 0,2 \end{eqnarray*}$ rauskommt. Allerdings stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und verstehe nicht so ganz die Zusammenhänge zwischen $\begin{eqnarray*} \epsilon, \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x, f(x) \end{eqnarray*}$ ... :/

Könntest du mir da noch auf die Sprünge helfen?

03.01.2014, 16:17

Leopold

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Nun, da die rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ näher als $\begin{eqnarray*} 0{,}01 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ liegt, kann sie keine dieser Zahlen sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$

(Die zu $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ nächstgelegene dieser Zahlen, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , hatte ja einen Abstand $\begin{eqnarray*} 0{,}015 \ldots \end{eqnarray*}$ )

Die Zahlen der Liste oben waren aber alle Zahlen mit einem Nenner $\begin{eqnarray*} \leq 5 \end{eqnarray*}$ . Unser $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ (mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ ) muß daher einen Nenner $\begin{eqnarray*} q \geq 6 \end{eqnarray*}$ haben. Daher gilt:

$\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| = \left| \frac{1}{q} - 0 \right| = \frac{1}{q} \leq \frac{1}{6} < \frac{1}{5} = 0{,}2 \end{eqnarray*}$

Und wie bereits gesagt: $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}2 \end{eqnarray*}$ war nur ein Beispiel. Wie würde die Argumentation mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon = 0{,}1 \end{eqnarray*}$ gehen? (ein anderes Beispiel)

Und irgendwann mußt du vom Beispiel weg und die Argumentation für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ führen.

Und auch $\begin{eqnarray*} \xi = \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ war nur ein Beispiel. Auch von dem mußt du irgendwann weg und die Argumentation für ein beliebiges irrationales $\begin{eqnarray*} \xi \in [0,1] \end{eqnarray*}$ führen, und zwar wieder für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Immer mußt du, wenn du ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben hast, erklären, wie du ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden kannst, so daß für alle (!!!) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \left| x - \xi \right| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(\xi) \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

03.01.2014, 16:34

Hallagar

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Achso. Klar, jetzt hab ich's verstanden.
Wähle $\begin{eqnarray*} \xi \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ irrational.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann betrachte alle rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q < \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$
Wähle die rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit kleinstem Abstand $\begin{eqnarray*} d(\frac{p}{q}, \xi) \end{eqnarray*}$ und wähle ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta < | \frac{p}{q} - \xi | \end{eqnarray*}$
Wähle nun ein $\begin{eqnarray*} x \in U_{\delta} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also:
$\begin{eqnarray*} |x - \xi | < \delta \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(\xi)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

1. Fall ...
2. Fall ...
Das ist dann ja wie gehabt. Sehe ich das richtig?

03.01.2014, 16:49

Leopold

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Zitat:

Original von Hallagar (mit Leopolds Korrekturen)
Achso. Klar, jetzt hab ich's verstanden.
Wähle (besser: sei) $\begin{eqnarray*} \xi \in [0, 1] \end{eqnarray*}$ irrational.
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gegeben. Dann betrachte alle rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q < \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \color{red} q \leq \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ )
Wähle die rationale Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ mit kleinstem Abstand $\begin{eqnarray*} d(\frac{p}{q}, \xi) \end{eqnarray*}$ und wähle ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \delta < | \frac{p}{q} - \xi | \end{eqnarray*}$ (Warum existiert solch eine Zahl p/q? Warum ist der Abstand nicht 0?) Wähle (besser: sei) nun ein $\begin{eqnarray*} x \in U_{\delta} \end{eqnarray*}$ . Es gilt also:
$\begin{eqnarray*} |x - \xi | < \delta \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} | f(x) - f(\xi)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

1. Fall ...
2. Fall ...
Das ist dann ja wie gehabt. Sehe ich das richtig?

03.01.2014, 16:58

Hallagar

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Zur Frage "Warum existiert eine Zahl p/q"?
Weil xi irrational ist, kann der Abstand zwischen p/q und \xi nicht 0 sein.
Super, dann habe ich diese Aufgabe schonmal gelöst. Jetzt brauch ich erstmal 'ne Pause.
verwirrt

Vielen vielen Dank dir für deine Hilfe,
mal schauen was ich von den anderen Aufgaben mit meinem neuen Wissen so schaffen kann.
Liebe Grüße,
Hallagar.

03.01.2014, 17:05

Leopold

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Immer noch nicht ganz geklärt ist, warum es einen kleinsten Abstand $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Das Infimum einer Zahlenmenge kann schließlich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, auch wenn kein Element der Zahlenmenge $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

03.01.2014, 17:12

Hallagar

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Höh, da verstehe ich leider nicht, worauf du da hinaus willst. :/

03.01.2014, 19:34

Leopold

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Nehmen wir die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Jede hat einen Abstand von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , der größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dennoch gibt es kein Element $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ , das von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ einen minimalen Abstand $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ besitzt. Oder anders gesagt:

$\begin{eqnarray*} \inf A = 0 \, , \ \ \min A \ \text{existiert nicht} \end{eqnarray*}$

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