Konvergenzradien berechnen

03.01.2014, 15:05

Shiby

Konvergenzradien berechnen

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{n!2^n}{n^n}x^n \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~n!x^n \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~\begin{pmatrix}k\\n\end{pmatrix}x^k , n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fest

Hallo Leute,
ich habe die Konvergenzradien der oben stehenden Reihen mithilfe der zwei Formeln berechnen.

1) $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$

Es wäre sehr nett, wenn da mal jemand rüberschauen könnte und mir Fehler mitteilen könnte.

a) Hier habe ich die Formel 1 gewählt mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n!2^n}{n^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{n!2^n}{n^n}}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{n!2^n}{n^n}}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{{\frac{\sqrt[n]{n!2^n}}{\sqrt[n]{n^n}}}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{\sqrt[n]{n!}\cdot\sqrt[n]{2^n}}{n}} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\frac{\sqrt[n]{n!}\cdot2}{n}} \end{eqnarray*}$

Nun bin ich mir unsicher. Ich denke das n schneller wächst als die Wurzel und somit der Grenzwert gegen 0 strebt und dadurch das Gesamte gegen unendlich geht.

b) Hier habe ich der 2. Formel gearbeitet und $\begin{eqnarray*} a_n = n! \end{eqnarray*}$ gesetzt.

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{n!}{(n+1)!}| \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{n+1}| \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert hier sollte 0 sein.

c) Bei dieser Aufgabe habe ich ebenfalls die 2. Formel verwendet. $\begin{eqnarray*} a_k= \begin{pmatrix}k\\n\end{pmatrix}= \frac{k!}{n!\cdot(k-n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{\frac{k!}{n!\cdot(k-n)!}}{\frac{(k+1)!}{n!\cdot(k+1-n)!}}| \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{k!}{n!\cdot(k-n)!}\cdot\frac{n!\cdot(k+1-n)!}{(k+1)!}| \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{1}{1}\cdot\frac{k+1-n}{k+1}| \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{k+1-n}{k+1}| \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert hier sollte 1 sein.

05.01.2014, 17:10

Shiby

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push

05.01.2014, 17:17

Che Netzer

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RE: Konvergenzradien berechnen

Zitat:

Original von Shiby
Nun bin ich mir unsicher.

Dann probiere es doch mal mit der anderen Formel.

Zitat:

Der Grenzwert hier sollte 0 sein.

Das stimmt. Genauer gesagt ist der Konvergenzradius Null.

Zitat:

Der Grenzwert hier sollte 1 sein.

Auch das stimmt, aber du hättest $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ schreiben sollen.

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