quadratische Gleichungen

09.08.2004, 20:11	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Gleichungen Eine nette Aufgabe zum Überlegen: Man beweise, dass für die Gleichung $\begin{eqnarray} ax^{2} + bx + c = 0 \end{eqnarray}$ keine rationalen Lösungen existieren, falls a, b, c ungerade ganze Zahlen sind.
09.08.2004, 22:51	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
O.K. Gustav, das ist eine nette kleine Übung zum Aufwärmen. Brauchst Du Hilfe bei der Lösung, oder willst Du die Boardteilnehmer testen?
09.08.2004, 23:11	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will selbstverständlich die Boardteilnehmer testen. Wenn du einen Beweis hast - PM an mich
09.08.2004, 23:15	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre nett, wenn du das gleich dazu schreiben würdest, dass du keine Hilfe benötigst Gruß vom Ben
10.08.2004, 08:21	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Lösungsvorschlag, für alle zum mitlesen. Annahme: Für ein Tripel a,b,c ungerader Zahlen existiert eine rationale Lösung x. Auflösen der quadratischen Gleichung nach x liefert: $\begin{eqnarray} x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. \end{eqnarray}$ Die Quadratwurzel einer natürlichen Zahlen ist entweder eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl. Da x nach Voraussetzung rational ist, muß eine natürliche Zahl d exisitieren, so daß gilt: $\begin{eqnarray} d^2 = b^2-4ac \Rightarrow (b-d)(b+d) = 4ac. \end{eqnarray}$ Das Produkt (b-d)(b+d) muß demnach eine gerade Zahl sein. Da b ungerade ist, geht das nur dann, wenn auch d eine ungerade Zahl ist. Also kann b=2m+1 und d=2n+1 mit natürlichen Zahlen m und n gesetzt werden. Für m und n muß nun gelten: $\begin{eqnarray} (b-d)(b+d) = 2(m-n)\,2(m+n+1) = 4ac \Rightarrow (m-n)(m+n+1) = ac \end{eqnarray}$ m-n und m+n sind beide stets gerade oder ungerade, d.h. das Produkt (m-n)(m+n+1) ist auf jeden Fall eine gerade Zahl. Die letzte Gleichung steht also im Widerspruch zu der Voraussetzung, das a und c und damit auch ihr Produkt ac ungerade sind.
10.08.2004, 17:40	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Beweis ist etwas kürzer: Wäre $\begin{eqnarray} x = \frac{u}{v} \end{eqnarray}$ eine Lösung mit $\begin{eqnarray} u, v \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und ggT(u,v) = 1, so wäre au² + buv + cv² = 0. Wegen ggT(u,v) = 1 können u und v nicht beide gerade sein. Aus au² + buv + cv² = u² + uv + v² = 0 mod 2 ergibt sich ein Widerspruch.
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