Matrixexponential

03.01.2014, 17:10

Lithiesque

Matrixexponential

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in\mathbb{C}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} AB\neq BA \end{eqnarray*}$ . Kann dann gelten $\begin{eqnarray*} e^A=e^B=e^{A+B}=I \end{eqnarray*}$ ?

Als Hinweis ist gegeben, dass für $\begin{eqnarray*} G\in\mathbb{C}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ invertierbar und beliebige $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb{C}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} e^{GAG^{-1}}=Ge^AG^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich gehe davon aus, dass dies nicht gelten kann, bekomme aber keinen Beweisansatz hin. Der Hinweis ist auch nicht sonderlich hilfreich, da ich keine invertierbare Matrix (außer der Einheitsmatrix) finde, die etwas mit dem Problem zu tun hat. Oder braucht man hier die Jordan-Normalform...? verwirrt

03.01.2014, 18:54

Che Netzer

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RE: Matrixexponential

Zitat:

Original von Lithiesque
Oder braucht man hier die Jordan-Normalform...? verwirrt

Wäre eine gute Idee. Fang z.B. damit an, dass $\begin{eqnarray*} GAG^{-1}=J \end{eqnarray*}$ die Jordan-Normalform zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei.

04.01.2014, 12:35

Lithiesque

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$\begin{eqnarray*} I=Ge^AG^{-1}=e^{GAG^{-1}}=e^J=diag(e^{J_1},...,e^{J_\mu}) \end{eqnarray*}$
Also sind alle Jordan-Kästchen $\begin{eqnarray*} 1\times 1 \end{eqnarray*}$ -Matrizen mit dem Eintrag $\begin{eqnarray*} 1=e^0 \end{eqnarray*}$ und daher ist $\begin{eqnarray*} J=0 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ ...?

04.01.2014, 12:40

Che Netzer

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Fast. Es ist ja auch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{2\pi\mathrm i}=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i}=1 \end{eqnarray*}$ usw.

04.01.2014, 13:33

Lithiesque

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Also ist $\begin{eqnarray*} J=diag(e^{2\pi ik_1},...,e^{2\pi ik_n}), k_1,...,k_n \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bekäme man ein entsprechendes Resultat... aber wieso impliziert das jetzt, dass die beiden Matrizen kommutieren?

04.01.2014, 14:38

Che Netzer

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Das allein dürfte noch nicht genügen, denke ich.
Aber es ist ja noch $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{A+B}=I \end{eqnarray*}$ gegeben.

Ich würde jetzt versuchen, simultane Diagonalisierbarkeit zu zeigen.

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