Partialbruchzerlegung

03.01.2014, 19:07

Evilberry

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Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Hallo Liebe User,

ich grübel Momentan über folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x^{2} - \frac{1}{x^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich den Term irgendwie in seine Partialbrüche zerlegen muss, nur habe ich keine Ahnung wie, denn am Ende habe ich immer Müll raus.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} {x^{2} - \frac{1}{x^{2}}} \end{eqnarray*}$

lässt sich ja z.b. auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{x}) \cdot (x-\frac{1}{x} ) \end{eqnarray*}$

nach 3. binomischer formel liefert mir das ja gerade $\begin{eqnarray*} {x^{2} - \frac{1}{x^{2}}} \end{eqnarray*}$

So nun besitzt $\begin{eqnarray*} (x+\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ im reellen keine Nullstelle.

Also kann ich den Teil nicht als einfachen Partialbruch schreiben.

Ich komme also schlichtweg nicht weiter unglücklich

unglücklich

03.01.2014, 19:28

grosserloewe

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RE: Partialbruchzerlegung
Wink

Wink

1.)Multipliziere Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
2.) Wie kann man $\begin{eqnarray*} x^{4} -1 \end{eqnarray*}$ noch schreiben?
Es ist der Nenner dann gemeint (Binomische . Formeln)

03.01.2014, 19:44

Evilberry

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natürlich als (x^{2}+1) \cdot (x^{2}-1)

somit erhalten wir dann als Polstellen ja gerade dann 1 und -1 für die die Funktion f ja gerade nicht definiert ist da division durch 0.

also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{(x^{2}+1) \cdot (x^{2}-1) } \end{eqnarray*}$

da kann ich dann doch noch jeweils 1 x im Nenner rausziehen, sodass da im Nenner steht

x(x+1) * x(x-1) und dann kann ich das noch zu x^2*(x+1)*(x-1) umschreiben um x^2 zu kürzen also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1\cdot x-1} \end{eqnarray*}$ und das als Partialbrüche wären dann doch

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$ und dann auf einen bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{A(x-1)+B(x+1)}{x+1\cdot x-1} \end{eqnarray*}$

korrekt? verwirrt

verwirrt

03.01.2014, 20:01

Dopap

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wenn du einen Faktor aus einer Summe ausklammerst, dann nicht nur aus einem Summanden.

03.01.2014, 20:07

grosserloewe

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Wink

Ok Dopap mache weiter.

03.01.2014, 20:11

Evilberry

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Zitat:

Original von Dopap
wenn du einen Faktor aus einer Summe ausklammerst, dann nicht nur aus einem Summanden.

wo genau meinst du jetzt??

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03.01.2014, 20:21

Dopap

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Zitat:

Original von Evilberry

[...] da kann ich dann doch noch jeweils 1 x im Nenner rausziehen, sodass da im Nenner steht

$\begin{eqnarray*} x(x+1) \cdot x(x-1) \end{eqnarray*}$ [...]

gegen falsches Ausklammern hilft nur wieder reinmultiplizieren, und dann sollte das Ursprüngliche wieder entstehen.
Probier es mal

03.01.2014, 20:26

Evilberry

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ich glaube ich habe schon vom ganzen büffeln schwere hinrschäden... Hammer

Hammer

natürlich ist x^4-1 = (x-1)* (x+1) * (x^2+1)

03.01.2014, 20:34

Dopap

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ja schön, endlich, dann mach doch die Partialbruchzerlegung.

03.01.2014, 21:06

Evilberry

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$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{Cx+D}{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

dann auf einen bruch gebracht und x^3 x^2 x und die "1", sodass folgendes gelten muss

x^3 : A+B+C = 0
x^2 : -A+B+D = 1
x : A+B-C = 0
1 : -A+B-D = 0

soweit bin ich.

für x^2 muss ja gerade 1 gelten , weil es genau 1 mal im Zähler steht

iwie finde ich aber keine korrekte lösung für ABCD vllt. habe ich auch einen fehler gemacht.

03.01.2014, 21:08

Evilberry

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Zitat:

Original von Evilberry
dann auf einen bruch gebracht und x^3 x^2 x und die "1" *ausgeklammert*, sodass folgendes gelten muss

das sollte da eig stehen

03.01.2014, 21:14

Dopap

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hast du nicht auch den Eindruck, dass eine Gleichung angemessen wäre verwirrt

verwirrt

03.01.2014, 21:26

Evilberry

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wir haben das in der uni so gemacht das wir die Terme dann auf einen Nenner bringen sodass 1 Bruch dort steht und dort die jeweiligen x^n ausklammern sodass wir sehen, was dann für A B etc gelten muss damit gerade dadurch der koeffizient von x^n entsteht,ich verstehe also nicht wie genau du jetzt vorgehen willst^^

03.01.2014, 21:34

Dopap

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na gut, ich bin kein Freund von Spezialtechniken, die im Allgemeinfalle nicht anwendbar sind. Daran kann man sich später nicht mehr erinnern.

Nun wie sieht jetzt die Partialbruchzerlegung aus ?

Und bitte in Latex

03.01.2014, 22:29

Evilberry

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zunächst einmal so:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{x+1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{B}{x-1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{Cx+D}{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

und dann auf einen Bruch gebracht so:

$\begin{eqnarray*} \frac{A\cdot (x-1)\cdot x^{2}+1 + B\cdot (x+1)\cdot (x^{2}+1) + (Cx+D)\cdot (x+1)\cdot (x-1) }{x^{4}-1 } \end{eqnarray*}$

ich hoffe das ist korrekt so

03.01.2014, 22:34

Dopap

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es fehlt eine Klammer.

Was ist nun das Ergebnis ?

03.01.2014, 22:41

Evilberry

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ups mein fehler mit der klammer

ehrlich gesagt ich habe keine ahnung , wie ich bereits gesagt habe haben wir das dann nach
$\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ etc. umgestellt also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}\cdot (A+B+C) +x^{2}\cdot (-A+B+D)+ x\cdot (A+B-C) + 1 \cdot (-A+B-D) ( }{x^{4}-1} \end{eqnarray*}$

dann muss für die gleichung

-A+B+D = 1 gelten damit dort $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ steht (was ja unser Zähler ist), der Rest muss alles 0 ergeben.

03.01.2014, 23:54

Dopap

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ergo kommt nix bei raus. Es ist ein Charakteristikum, dass bei solchen unmathematischen

" Wir haben das so gemacht "

Verfahren die Mathematik auf der Strecke bleibt. Da ich nicht weiß was du da tust, kann ich auch nicht helfen.
Es wäre besser wenn du mal aus der Deckung kommst und eine Gleichung aufstellst und dann per Koeffizientenvergleich ein LGS anbieten würdest.

oder kann ich verklausuliert entnehmen:

A+B+C=0
-A+B+D=1
A+B-C=0
-A+B-D=0

verwirrt

verwirrt

04.01.2014, 00:05

Evilberry

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Zitat:

Original von Dopap
ergo kommt nix bei raus. Es ist ein Charakteristikum, dass bei solchen unmathematischen

" Wir haben das so gemacht "

Verfahren die Mathematik auf der Strecke bleibt. Da ich nicht weiß was du da tust, kann ich auch nicht helfen.
Es wäre besser wenn du mal aus der Deckung kommst und eine Gleichung aufstellst und dann per Koeffizientenvergleich ein LGS anbieten würdest.

oder kann ich verklausuliert entnehmen:

A+B+C=0
-A+B+D=1
A+B-C=0
-A+B-D=0

verwirrt

verwirrt

ja das hatte ich aber auch iwo notiert diese Gleichungen für ABCD :-)

man kann ja rausziehen das A+B = - C und A+B = C damit muss -C=C sein also 0 oder?
dann muss noch A = - B gelten und daraus dann wiederum dass D = -A + B und -D= -A + B

04.01.2014, 00:22

Dopap

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du solltest den Thread vorwärtsbringend gestalten.
Gut, das hast du irgendwo vorher notiert, als deine letzte Gleichung noch nicht aktuell war.
Trotzdem steht immer noch das Ergebnis aus.

04.01.2014, 01:18

Evilberry

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ok ich habe es gelöst bekommen war doch was knifflig nach über 10 stunden lernen für alle möglichen fächer^^

Man erhält folgende Werte:

A = -0,25
B = +0.25
C = 0
D = 0.5

Diese Eingesetzt ergeben nun folgende Integrale:

$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{1}{4(x+1)} \, dx +\int \! \frac{1}{4(x-1)} \, dx +\int \! \frac{1}{2(x^{2}+1) } \, dx \end{eqnarray*}$

dort kann ich nun : $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ jeweils rausziehen also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ aus dem ersten integral etc.

sodass ich nur noch folgendes integrieren muss:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(x+1)} f(x) \, dx +\int \! \frac{1}{(x-1)} f(x) \, dx +\int \! \frac{1}{(x^{2}+1) } \, dx \end{eqnarray*}$

sodass ich am Ende mit den dazugehörigen koeffizienten dich ich jetzt in dem Latex nicht noch extra gemacht habe folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \cdot ln(x+1) +\frac{1}{4} \cdot ln(x-1) + \frac{1}{2} arctan(x) +C \end{eqnarray*}$

arctan = arceus tangens oder auch atan ich weiß nicht welche notation du kennst.

Ich hoffe das das nun alles korrekt ist falls ja, bedanke ich mich jetzt schonmal vielmals für die ganze Hilfe.

Ich hau mich jetzt aufs Ohr Freude

Freude

04.01.2014, 12:19

Dopap

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da hat sich kurz ein f(x) eingeschlichen...

Ansonsten: Freude

Freude

04.01.2014, 14:40

Evilberry

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ups vergessen das rauszunehmen^^

ich habe noch eine Frage und zwar gibt es iwelche kennzeichen wann man
nochmal erweitern sollte am anfang, sowie in diesem Beispiel wo ich ja mit $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$
erweitern musste.

also gibt es dort bestimmte gegebenheiten an denen man das erkennen kann, ähnlich wie
wenn der Grad des Zählerpolynoms > Grad des Nennerpolynoms so muss man ja nochmal eine Polynomdivison durchführen

04.01.2014, 14:59

Dopap

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RE: Partialbruchzerlegung
na ja, der Term $\begin{eqnarray*} T=\frac{1}{x^{2} - \frac{1}{x^{2} } } \end{eqnarray*}$

sieht doch mit dem Doppelbruch etwas komisch aus. Man kann doch zuerst umformen:

$\begin{eqnarray*} T=\frac{1} { \frac {x^4 - 1}{x^2}} \end{eqnarray*}$ und das erzwingt doch geradezu das Gewünschte.

Ebenso ist es dann mit $\begin{eqnarray*} x^4-1 \end{eqnarray*}$ das riecht doch geradezu nach Binomi#3 auch wenn man zuerst formal $\begin{eqnarray*} (x^2)^2-1^2 \end{eqnarray*}$ schreiben müsste.

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