Stetigkeitsbeweis

03.01.2014, 20:40

Shiby

Stetigkeitsbeweis

Hallo Leute,
ich soll prüfen, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{cos(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig oder unstetig ist.

Ich würde jetzt so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(0)|=\frac{cos(x)-1}{x}-\frac{cos(0)-1}{0} \end{eqnarray*}$

Kann ich hier jetzt sofort abbrechen und sagen das die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ unstetig ist, da in meiner Berechnung eine nicht definierter Ausdruck vorkommt?

03.01.2014, 20:51

dastrian

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RE: Stetigkeitsbeweis
Hi!

Zitat:

Original von Shiby
ich soll prüfen, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{cos(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig oder unstetig ist.

Diese Aufgabe ist nicht wohl-gestellt, denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist in dieser Form an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Die Aufgabe ist also entweder eine fiese Fangfrage, oder aber (was sehr viel wahrscheinlicher ist) die Aufgabe lautet herauszufinden, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf die Definitionslücke $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist.

03.01.2014, 20:54

Dopap

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wohl war !

Das eigentliche Problem ist ja, dass keine Funktion gegeben ist.

Deshalb sind solche "Aufgaben" abzulehnen.

03.01.2014, 21:07

Shiby

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Im Anhang befindet sich ein Bild der Aufgabenstellung, aber so wie es Aussieht ist es eine Fangfrage

http://s14.directupload.net/images/140103/yldjusqf.jpg

03.01.2014, 21:22

Dopap

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Ich bin da streng: eine Funktionsvorschrift ist keine Funktion.

Da muss man einfach konsequent sein !

03.01.2014, 21:26

10001000Nick1

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Aber das in dem Bild ist ja nicht mal eine Funktionsvorschrift, sondern einfach nur ein Term. unglücklich

Woher stammt denn diese Aufgabe?

03.01.2014, 21:38

Bjoern1982

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Sieht nen bisschen nach Mathe für Wiwis oder Mathe für Maschinenbauer aus (bzw erinnert mich daran), da seh ich sowas oft. Big Laugh

03.01.2014, 21:38

Dopap

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wenn die Grundlage schon nicht stimmt, dann ist Obiges sozusagen unerheblich Big Laugh

04.01.2014, 02:11

Shiby

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Ich im ersten Semester mathe-vollfach Bachelor. Das ist eine Aufgabe vom Bonuszettel für die Weihnachtsferien.

04.01.2014, 03:33

dastrian

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Mein Senf:
Wenn du einen gesunden rebellischen Geist hast, dann sag dem Prof-Assistenten (oder wer auch immer bei euch die Aufgaben stellt), dass in dieser Aufgabe überhaupt keine Funktion gegeben ist und selbst wenn man es wohlwollend so auffasst, dass der maximale Definitionsbereich in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ etc. "offensichtlich" sei, so ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert und damit macht auch die Frage nach der Stetigkeit an dieser Stelle keinen Sinn.
Um die Punkte zu bekommen, würde ich die Aufgabenstellung (sehr wohlwollend) so deuten:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{cos(x)-1}{x} \end{eqnarray*}$
Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist.

04.01.2014, 04:10

matze(2)

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Hallo,
die gesuchte Antwort ist: Ja, die Funktion ist in der 0 durch f(0) := lim [x->0] f(x) = 0 fortsetzbar.

Hattet ihr http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital ?

Wenn ja, kann man das damit leicht nachrechnen Augenzwinkern

Viele Grüße, Matthias

04.01.2014, 09:42

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn du einen gesunden rebellischen Geist hast, dann sag dem Prof-Assistenten (oder wer auch immer bei euch die Aufgaben stellt), dass in dieser Aufgabe überhaupt keine Funktion gegeben ist und selbst wenn man es wohlwollend so auffasst, dass der maximale Definitionsbereich in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ etc. "offensichtlich" sei, so ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert und damit macht auch die Frage nach der Stetigkeit an dieser Stelle keinen Sinn.

Oder noch besser, nicht direkt alles verraten und erstmal allgemein nachfragen wie die Aufgabe genau gemeint sei.
So kann man direkt mal prüfen, ob dem Assistenten überhaupt klar ist, was hier nicht stimmt - kleiner Kompetenz-Check. Augenzwinkern

Zitat:

Um die Punkte zu bekommen, würde ich die Aufgabenstellung (sehr wohlwollend) so deuten:

Wenn es für die oben bereits mehrfach ausgeführten Begründungen, warum diese Aufgabe relativ sinnlos ist, dann nicht die volle Punktzahl gäbe, würde ich die Korrektoren auslachen. Wobei 4 Punkte für ein paar Worte zur Fangfragenthematik auch ebenso lachhaft wären. Hammer

04.01.2014, 17:24

Leopold

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Ein klein wenig Wasser muß ich dann doch in euren Rebellen-Wein gießen. Der mengentheoretische Funktionsbegriff hat noch nicht alle Bereiche der klassischen Mathematik erfaßt. So spricht man in der Funktionentheorie z.B. noch heute von der Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin z \end{eqnarray*}$ . Ohne weitere Zusätze. Auch werden im fortgeschrittenen Stadium hebbare Lücken oft stillschweigend gestopft, etwa bei $\begin{eqnarray*} \frac{\sin z}{z} \end{eqnarray*}$ . Was jeweils gemeint ist, entnimmt man dem Kontext.

Das ändert natürlich nichts daran, daß die Aufgabenstellung hier wie hingeworfen wirkt und die Aufgabe somit, wie es dastrian wunderbar ironisch in Nachäffung der mathematischen Fachsprache gesagt hat, nicht "wohlgestellt" ist. Die Präzisierung von dastrian ist auf jeden Fall die bessere Wahl. Etwas lässiger könnte man im Sinne meiner einleitenden Bemerkungen auch sagen:

Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} \frac{\cos x - 1}{x} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist.

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