Transformationsmatrix und Koordinaten bestimmen

03.01.2014, 21:29	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformationsmatrix und Koordinaten bestimmen Hallo Leute, es wäre sehr nett wenn mir jemand sagen könnte ob mein Ansatz richtig ist. Im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ seien die Basen $\begin{eqnarray} A : \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} ; B: \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\3\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. a) Berechne die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} T_{A,B} \end{eqnarray}$ . b) Bestimme die Koordinaten des Vektors $\begin{eqnarray} v = 2\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+9\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix}-8\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bezüglich der Basis B. a) Seien A und B also zwei Basen unseres $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ , und S bezeichne die Standardbasis. Dann gilt: $\begin{eqnarray} T_{A,B}= T_{B,S}\cdot T_{S,B} \end{eqnarray}$ Um eine Transformation von A nach B zu vollführen, kann man auch erst von A nach S transformieren, und anschließend von S nach B.
04.01.2014, 10:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Ansatz ist richtig, aber falsch geschrieben, rechts bitte A statt B als Index. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die sollte man auch als Menge schreiben und nicht so beziehungslos in der Gegend stehen lassen.
05.01.2014, 17:40	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups das sollte natürlich A sein und nicht B. Ansatz: $\begin{eqnarray} T_{A,B}= T_{B,S}\cdot T_{S,A} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} T_{B,S}= (T_{S,B})^{-1} \end{eqnarray}$ Nun Setze ich $\begin{eqnarray} T_{A,B}= T_{B,S}\cdot T_{S,A} = (T_{S,B})^{-1}\cdot T_{S,A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{S,A} \end{eqnarray}$ kann ich sofort angeben. $\begin{eqnarray} T_{S,A} = \begin {pmatrix}1&2&2\\-1&3&3\\2&7&6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun definiere ich mir eine Matrix D $\begin{eqnarray} D =\begin {pmatrix}1&-1&-2\\2&3&7\\2&3&6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt berechne ich $\begin{eqnarray} T_{B,S} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{B,S} = D^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D^{-1} = \begin {pmatrix}\frac{3}{5}&0&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&-2&\frac{11}{5}\\0&1&-1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das müsst ihr mir jetzt mal so glauben. Ich habe das mit nem Onlinerechner berechnet und auch per Hand, habe keine Lust das alles hier aufzuschreiben. Jetzt habe ich $\begin{eqnarray} T_{B,S} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{S,A} \end{eqnarray}$ , also kann ich im nächsten Schritt $\begin{eqnarray} T_{A,B} \end{eqnarray}$ berechnen. $\begin{eqnarray} T_{A,B}= T_{B,S}\cdot T_{S,A} = \begin {pmatrix}\frac{3}{5}&0&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&-2&\frac{11}{5}\\0&1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin {pmatrix}1&2&2\\-1&3&3\\2&7&6\end{pmatrix}= \begin {pmatrix}1&\frac{13}{5}&\frac{12}{4}\\6&\frac{43}{5}&\frac{32}{5}\\3&4&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.01.2014, 18:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrizen gefallen mir, aber ich glaube, sie müssen so heißen $\begin{eqnarray} T_{A,B}=T_{B,S}^{-1}\cdot T_{A,S}=T_{S,B}\cdot T_{A,S} \end{eqnarray}$ Ich habe noch vorsichtshalber bei Wikipedia nachgesehen : http://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)
05.01.2014, 20:26	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Man ich komm mit diesen indices immer durcheinander. Dann mach ich mal mit der Koordinatenbestimmung weiter. Wenn man diesem Link trauen kann ergibt sich diese Gleichungskette. $\begin{eqnarray} v = 2\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+9\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\7\end{pmatrix}-8\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\19\end{pmatrix} =\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix}-1\\3\\3\end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mein gesuchter Vektor besitzt dann folgende Gestalt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\\ \gamma\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus dem letzten Teil der Gleichungskette ergibt sich folgendes LGS: $\begin{eqnarray} (I) : \alpha-\beta-2\gamma = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : 2\alpha+3\beta+7\gamma = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : 2\alpha+3\beta+6\gamma = 19 \end{eqnarray}$ II-III $\begin{eqnarray} (I) : \alpha-\beta-2\gamma = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : 2\alpha+3\beta+6\gamma = 19 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma = -18 \end{eqnarray}$ einsetzen in die verlbleibenden Gleichungen $\begin{eqnarray} (I) : \alpha-\beta = -32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : 2\alpha+3\beta = 127 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I+\beta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (I) : \alpha =\beta -32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : 2\alpha+3\beta = 127 \end{eqnarray}$ I in III einsetzen $\begin{eqnarray} (I) : \alpha =\beta -32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : 2(\beta-32)+3\beta = 127 \end{eqnarray}$ III nach $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ umstellen $\begin{eqnarray} (I) : \alpha =\beta -32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : \beta = 38,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ in I einsetzen und nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ umstellen $\begin{eqnarray} (I) : \alpha = 6,2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (II) : \gamma = -18 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (III) : \beta = 38,2 \end{eqnarray}$ Also lautet der Gesuchte Vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}6,2\\ 38,2\\ -18\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
06.01.2014, 18:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte der Sinn und Zweck einer Transformationsmatrix nicht gerade darin bestehen dass man Vektoren transformieren kann ? Ich hätte jetzt gehofft, dass $\begin{eqnarray} T_{A,B}v \end{eqnarray}$ der gesuchte Vektor ist. In deiner Rechnung finde ich keinen Fehler. (Ich habe jetzt auch nicht die ganz große Lust noch mal nachzurechnen.)
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