Euklidischer Algorithmus für Polynome

04.01.2014, 04:26

Tomatensalat

Euklidischer Algorithmus für Polynome

Hallo Leute,

ich habe ein Problem beim Euklidischen Algorithmus für Polynome. Gegeben sind (in Q[x]):

$\begin{eqnarray*} <br /> a(x) = x^{4} - 5x^{3} + 2x^{2} - 8x + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> b(x) = x^{3} - 5x^{2} + x - 5<br /> \end{eqnarray*}$

Mittels Euklid bin ich jetzt auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} x^{4} - 5x^{3} + 2x^{2} - 8x + 1 = x * (x^{3} - 5x^{2} + x - 5) + (x^{2} - 3x + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} - 5x^{2} + x - 5 = (x - 2) * (x^{2} - 3x + 1) + (-6x - 3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x^{2} - 3x + 1) = (- \frac{1}{6}x + \frac{7}{12}) * (-6x - 3) + \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-6x - 3) = 8x * \frac{3}{4} - 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x = - \frac{8}{3}x * (-3) + 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre der ggT ja -3, bei sämtlichen Rechnern habe ich als Ausgabe aber ggT = 1 erhalten. Wie komme ich da nun drauf? Wo liegt mein Fehler?

Ich wäre froh, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! smile

Frohes neues Jahr!

04.01.2014, 08:16

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Damit wäre der ggT ja -3, bei sämtlichen Rechnern habe ich als Ausgabe aber ggT = 1 erhalten. Wie komme ich da nun drauf? Wo liegt mein Fehler?

Der Fehler ist einen Fehler zu sehen wie keiner ist.

Der ggT ist nur bis auf Assoziiertheit, d.h. Multiplikation mit einer Einheit, bestimmt.

Außerdem ist die letzte zeile im Alg. unnötig.

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