In welchen Punkten sind die Funktionen stetig?

04.01.2014, 11:58	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
In welchen Punkten sind die Funktionen stetig? Meine Frage: Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig sind: a) $\begin{eqnarray} x \rightarrow \begin{cases} -x, & \text{falls} \ x < 0 \text{oder} x > 1 \\ x^{2}, & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} x \rightarrow \begin{cases} x^{2} + 2x + 1, & \text{falls} \ x \in [-1,0]\\ 1-x, & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} x \rightarrow \begin{cases} x, & \text{falls} \ x \in \mathbb Q \\ 1-x, & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} x \rightarrow \begin{cases} 2x^{2}, & \text{falls} \ x \in \mathbb Q \\ x^{3} + x, & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Moin moin, obwohl ich gestern im Forum schon eine Stetigkeitsaufgabe gestellt habe, komme ich wieder mal nicht mit der Stetigkeit klar. Ich soll hier also von diesen 4 Funktionen bestimmen, in welchen Punkten sie stetig sind, die Definition dafür lautet ja: Unsere Definition lautet: Sei $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. a) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ heißt stetig in $\begin{eqnarray} x \in X \leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(U_{\delta}(x)) \subseteq f(U_{\epsilon}(x)) \end{eqnarray}$ d.h. aus $\begin{eqnarray} d_{X}(x, x') < \delta \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} d_{Y}(f(x), f(x')) < \epsilon \end{eqnarray}$ Leider fällt es mir sehr schwer, hier wieder einen vernünftigen Ansatz zu finden, daher wäre es super, wenn jemand von euch mit mir zb. Teilaufgabe a) durchgehen würde, sodass ich das Prinzip einmal verstanden habe. Für a) sähe mein Anfang wie folgt aus: Damit wir wissen können, ob unser x stetig wird, müssen wir auch wissen, was f(x) wird. Daher direkt zu Anfang eine Fallunterscheidung: 1. Fall Sei x < 0 (und hier vielleicht noch >1)? Sei $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gegeben. Dann muss ich jetzt ja zunächst mal ein $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ finden und mir ein $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ aus der $\begin{eqnarray} U_{\delta} \end{eqnarray}$ krallen. Von meinem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und meinem $\begin{eqnarray} x' \end{eqnarray}$ muss ich dann die Funktionswerte betrachten und schauen, ob der Abstand $\begin{eqnarray} d(f(x), f(x')) < \epsilon \end{eqnarray}$ ist. Stimmt das soweit? Und wenn ja, wie komme ich dahin, wo ich hin will? Liebe Grüße und Danke im voraus, Hallagar.
04.01.2014, 13:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du den Satz über die Fortpflanzung von Stetigkeit? Sind $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} x=\xi \end{eqnarray}$ stetig, so sind auch $\begin{eqnarray} f+g, \, f-g, \, f \cdot g, \, \frac{f}{g} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} x=\xi \end{eqnarray}$ stetig. (Bei der Division ist noch $\begin{eqnarray} g(\xi) \neq 0 \end{eqnarray}$ vorauszusetzen.) Die Funktionen $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ müssen dazu in einem Intervall, das $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ enthält, definiert sein. Da die konstanten Funktionen $\begin{eqnarray} x \mapsto c \end{eqnarray}$ und die Identität $\begin{eqnarray} x \mapsto x \end{eqnarray}$ (mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ) stetig sind, erhältst du mit dem Fortpflanzungssatz durch mehrfache Anwendung sofort, daß jede rationale Funktion, erst recht also jede ganzrationale Funktion, in ihrem ganzen Definitionsbereich stetig ist. Wenn nun eine Funktion in einem offenen Intervall mit einer rationalen Funktion übereinstimmt, dann muß sie in diesem offenen Intervall auch stetig sein. Wenn zusätzlich in einem Randpunkt des Intervalls Übereinstimmung vorliegt, erhält man für diesen immerhin noch die einseitige Stetigkeit. Nehmen wir die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aus a). Du solltest dir unbedingt ein Bildchen malen. i) Sie stimmt im Intervall $\begin{eqnarray} (-\infty,0] \end{eqnarray}$ mit der ganzrationalen Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto -x \, , \, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ überein (beachte insbesondere die Stelle $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ). Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (-\infty,0) \end{eqnarray}$ stetig und in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ immerhin noch stetig von links. ii) Im Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ stimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit der ganzrationalen Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto x^2 \, , \, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ überein. Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ stetig und in $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ immerhin noch stetig von rechts und in $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ stetig von links. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nach i) stetig von links und nach ii) stetig von rechts ist, ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ stetig. iii) Im Intervall $\begin{eqnarray} (1,\infty) \end{eqnarray}$ stimmt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit der ganzrationalen Funktion $\begin{eqnarray} x \mapsto - x \, , \, x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ überein. Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (1,\infty) \end{eqnarray}$ stetig. Was bleibt denn jetzt nur noch übrig? Siehe auch diese Zusammenstellung.

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