EW von Sturm-Liouville-Problem

Neue Frage »

Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »
EW von Sturm-Liouville-Problem
Einen schönen Nachmittag wünsche ich!
Bei einem Sturm-Liouville Problem, habe ich Probleme die zugehörigen EW zu finden.
Und zwar ist die Dgl ganz klassisch mit den RB: .
Jetzt sind die RB anders als ich es gewohnt bin, jedenfalls bekomme ich für nur triviale Lsg. und für habe ich Probleme die EW zu bestimmen.
Mit dem Ansatz erhalte ich für
x=0 die Gleichung was m.M.n. schon mal merkwürdig ist und für x=pi eine ebenfalls unschöne Gleichung.
Jedenfalls weiß ich nicht, wie ich aus diesen beiden Gleichungen die EW bestimmen kann.
Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen oder meinen Fehler aufzeigen könnte!
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir wirklich niemand weiterhelfen? Wenigstens einen Tipp geben?
Würde echt gerne die Lösung wissen, komme aber ohne Hilfe einfach nicht weiter.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Lösung von und die 1.Ableitung dieser Lösung lauten offenbar




Darin sind A, B zunächst frei wählbare Koeffizienten. Diese werden durch deine beiden Randbedingungen festgelegt:




Setzt man hier die obigen Funktionen y, y' an den Stellen 0 bzw ein, bekommt man ein homogenes lineares Gleichungssystem für die noch unbekannten Koeffizienten A, B. Die Eigenwerte ergeben sich aus der Forderung, dass die Koeffizientendeterminante dieses Gleichungssystems verschwinden muss. (Anderenfalls hätte dieses homogenes Gleichungssystem bekanntlich nur die triviale Lösung.)
-----------------------
Lustigerweise wird das Sturm-Liouvillesche Randwerproblem in der Literatur oft als "einfachstes" Randwertproblem bezeichnet, denn es gibt kein einfacheres Gebiet als eine Strecke, deren "Rand" eben gerade die beiden Endpunkte sind.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!
Aber kann ich nicht einfach aus der ersten Gleichung z.B. c1 ausdrücken, in die zweite einsetzen und dann mein w bestimmen, damit die Gleichung erfüllt ist?
Schließlich interessieren mich ja die EW oder? Bzw. weiß ich auch nicht wie ich sonst zuerst die Koeffizienten bestimmen soll und dann erst meine EW.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Lösung y(t) und deren Ableitung y'(t) hatte ich angegeben. Setzt man dort die 2 Randwerte t=0 bzw. t=pi ein, erhält man folgende 4 Werte:






Wir setzen diese 4 Werte in die beiden Randbedingungen ein, welche wie folgt gegeben waren




Einsetzten der obigen Werte führt auf die beiden Forderungen




Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten A, B, das wir in Matrixform wie folgt schreiben können



Dieses Gleichungssystem besitzt nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante det(W) der Koeffizientenmatrix W verschwindet. Es muss also gelten



Der erste und letzte Summand heben sich auf. Übrig bleibt die Forderung



Dieser Term verschwindet offenbar, wenn . Durch Quadrieren ergeben sich die Eigenwerte , welche folglich postiv sind.
-------------------
Nach der letzten Bedingung wäre formal auch ein Eigenwert. Prüfe mal, of das stimmt oder ob man diesen negativen Wert irgendwie "wegdiskutieren" kann.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, danke für die Antwort.
So in der Art hatte ich es mir eh schon gedacht, bin sogar auf dieselben EW gekommen.
Meine zugehörigen EF sind dann oder? (nach dem Ansatz aus meinem ersten Post)
Wir haben nämlich immer angenommen, dann ergibt sich auch nicht das Problem ob -9 ein EW ist.
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, die Eigenfunktionen lauten Asin(nx)+Bcos(nx). Man darf aber nicht a priori "annehmen", sondern das muss man berechnen. Wie man den Eigenwert -9 "wegdiskutiert" weiß ich im Moment auch nicht.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koeffizienten A und B muss ich für die allg. Lsg. dann aber nicht mehr bestimmen oder?
Und der Ansatz kommt ja nur von der charakteristischen Gleichung, welche ich verwende um die Dgl 2.Ordnung zu lösen.
Wieso muss ich das dann noch extra beweisen? Oder meinst du nur ich müsste den Ansatz der char. Gl. angeben um zu zeigen woher das kommt?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher haben wir die Eigenwerte bestimmt, also jene Werte, bei denen die Koeffizientendeterminente det(W) verschwindet. Folglich hat das homogene Gleichungssystem genau bei diesen Eigenwerten nichttriviale Lösungen A, B. Setze also die Eigenwerte in das homogene Gleichungssystem ein und berechne A, B. Als Lösung bekommt man aber nicht konkrete Zahlen A, B, sondern aus dem Gleichungssystem lässt sich nur das Verhältnis von A, B berechnen (z.B. A/B=10). Mit anderen Worten - die Eigenfunktion bleiben bis auf einen Faktor unbestimmt, also



Den unbestimmten Faktoren C bestimmt man mit der sog. Normierungsbedingung, welche besagt, dass alle Eigenfunktionen auf 1 normiert sein müssen. Das heißt, es muss gelten



Berechne mit dieser Bedingung den Faktor C. Letzterer ist nur dann wichtig, wenn man Lösungen eines konkreten Randwertproblems in einer Fourrierreihe entwickeln will. Wenn dagegen nur nach den "Eigenfunktionen" gefragt ist, muss man C nicht konkret berechnen, so dass die Eigenfunktionen bis auf einen Faktor C unbestimmt bleiben.
--------------
Ich nehme an, dass in deiner Bezeichnung die Variable w nur deshalb eingeführt wurde, um das Wurzelzeichen im Ausdruck zu vermeiden. Inhaltlich ist das ohne Belang.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dann noch verlangt die auf dem Intervall definierte Funktion
nach den EF zu entwickeln.
Jetzt konvergiert f ja gegen die Fourierreihe wobei man cn über den Ansatz für Fourierkoeffizienten berechen kann.
Das erscheint mir aber wahnsinnig aufwendig, oder übersehe ich da etwas?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht ist also die Fourrierreihe



Du musst also die Koeffizienten berechnen.



Das ist in der Tat ziemlich aufwendig. Eventuell verschwinden aus Symmetriegründen die Integrale über einige Summanden.
Agent 47 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke nochmals!
Wollte nur sichergehen, dass ich da nicht etwas falsch verstanden habe.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »