Dimension des Spanns der Zeilenvektoren einer Matrix bestimmen

Neue Frage »

04.01.2014, 19:55

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Dimension des Spanns der Zeilenvektoren einer Matrix bestimmen

Die Dimension ist doch die Anzahl aller Spaltenvektoren der Basis, wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?

04.01.2014, 21:17

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Dimension des Spanns der Zeilenvektoren einer Matrix bestimmen
Naja, die Zeilen der Matrix sind als Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ zu lesen, sprich: der erste Vektor ist
$\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ -6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Der zweite Vektor ist
$\begin{eqnarray*} v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und so weiter
Nun siehst due diese 5 Vektoren als Erzeugendensystem eines Unterraums des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Was ist die Dimension dieses Unterraums?

04.01.2014, 22:19

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die 5 Vektoren entsprechen dann der Dimension, also dann 5 ?

05.01.2014, 01:47

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen: Kann ein Unterraum des dreidimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ wirklich fünfdimensional sein?

Denk mal über folgendes Beispiel nach: Man betrachte die beiden Vektoren des zweidimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Welchen Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ spannen diese beiden Vektoren auf?

05.01.2014, 13:24

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, ganz klar ist es mir noch nicht mit den ganzen Begriffen, also wenn deine beiden Vektoren u1, u2 einen Untervektorraum aufspannen, dann hat der Spann ein Rang bzw. Basis von 1, da der Vektor u2 aus dem ersten gebildet werden kann und es immer nur linear unabhängige Vektoren sein dürfen richtig?

Dimension ist nur die Anzahl der Vekotoren im Spann, also zwei richtig?

05.01.2014, 20:44

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist großes Begriffe-Ordnen angesagt.

Das, was du Spann nennst, heißt offiziell Lineare Hülle und ist ein Untervektorraum. Sehr häufig interessieren uns (Unter-)Vektorräume, die von bestimmten Vektoren aufgespannt werden, daher die Assoziation mit dem Wort Spann. Solche Vektoren heißen Erzeugendensystem des aufgespannten Raums. Vorsicht: ein Erzeugendensystem ist eine beliebige Menge von Vektoren (darf unendlich sein, kann sogar die Menge aller Vektoren des Unterraums sein, muss jedenfalls nicht nur linear unabhängige Elemente enthalten. kann eigenartige Formen annhemne... wenn der Mathematiker beliebig sagt, meint er beliebig!). Der wichtigste Begriff ist nun
Basis = linearunabhängiges Erzeugendensystem
mehr steckt hinter dem Wort Basis nicht. Es ist aber eine sehr starke Bedingung an Erzeugendensysteme, dass sie nur aus linear unabhängigen Vektoren bestehen sollen. So stark, dass die Anzahl der Vektoren, die eine Basis eines Vekotorraums haben kann/muss, eindeutig ist. Deshalb nennt man diese Anzahl die Dimension des Vektorraums. Meines Wissens nach kommt dagegen der Begriff Rang erst dann ins Spiel, wenn es um lineare Abbildungen geht, hat also mit meinen beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ nocht nichts zu tun...

So... Was ist nun die lineare Hülle bzw der Unterraum bzw. der Spann, den $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aufspannen? Fangfrage: Ist $\begin{eqnarray*} \{ u_1, u_2 \} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem dieses Unterraums? Ist es eine Basis? (Mit Begründung!) Was ist die Dimension des Vektorraums? (Mit Begründung!)

06.01.2014, 23:57

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Spann den u1 und u2 aufspannen muss linear unabhängig sein, d.h. es muss nur einer diese Vektoren in dem Spann auftauchen, da der andere aus diesem Vektor erzeugt werden kann (mit den Operationen Vektoraddition, skalare Multiplikation). Wäre der Spann somit u1

Ja es ist ein Erzeugendensystem, da neben den linear unabhängigen auch abhängige Vektoren vorkommen dürfen.

Nein es ist keine Basis, da die Vektore linear abhängig sind, die Basis wäre somit 1, z.b. u1

Die Dimension ist somit auch 1 des Vektorraums.

Ist es soweit richtig erklärt?

07.01.2014, 00:16

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, fast, aber immer noch Obacht mit den Begriffen:

Der Spann von $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ ist die Menge
$\begin{eqnarray*} U := \{ \begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2 | t \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ ,
man könnte auch sagen: die Menge aller VIelfachen von $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ oder, was das gleiche ist: die Menge aller Vielfachen von $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ .
Der Spann ist also $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , einer Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , und nicht nur $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ .

Bezüglich des Erzeugendensystems, der Basis und der Dimension hast du Recht, pass aber bei der Basis auf:
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ u_1 \} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Die Anzahl der Elemente dieser Menge (die Anzahl der "Basisvektoren") ist 1, das ist also die Dimension.

Gut, und das Ganze müssen wir nun mit den in der Aufgabe gegebenen Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 \end{eqnarray*}$ machen. Dabei ist es nicht relevant, dass diese Vektoren als Zeilen einer Matrix gegeben sind - betrachte sie einfach als Vektoren der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und mach nochmal das gleiche wie oben. Das Schwierige ist natürlich nun, festzustellen, welche Vektoren linear unabhängig sind. (Kleiner Tip: es sind sehr wenige!)

07.01.2014, 00:39

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs, in der oberen Matrix sind alle Vektoren in den Zeilen linear abhängig, jeder Vektor lässt sich aus einem anderen herstellen.

Um den Spann zu bekommen brauche ich einen linear unabhängigen Vektor, hierfür eignet sich die Menge U := { (a; 2a; -3a) element R^3 | a elemet R }

Mein Spann ist U, bestehend aus linear unabhängig(en) Vektoren.

Es ist ein erzeugendes System, da beliebig viele Vektoren (abhängig oder unabhängig) vorhanden sind. --> Ist eine Menge von Vektoren dann nicht immer ein erzeugendes System?

Es ist keine Basis, da linear abhängige Vektoren in der Matrix vorhanden sind. Die Basis wäre hier 1, somit ist die Dimension auch 1

07.01.2014, 00:53

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wunderbar!

Zitat:

in der oberen Matrix sind alle Vektoren in den Zeilen linear abhängig, jeder Vektor lässt sich aus einem anderen herstellen.

Exakt! Deshalb ist der Spann der Vektoren einfach der Spann eines einzigen dieser Vektoren, explizit also, wie du richtig geschrieben hast:
$\begin{eqnarray*} U := \left\{ \begin{pmatrix} a \\ 2a \\ -3a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | a \in \mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist eine Menge von Vektoren dann nicht immer ein erzeugendes System?

Du hast es erfasst - gemeint ist dies natürlich mit der Einschräkung, dass diese Vektoren alle aus demselben Raum stammen müssen bzw. dass ihre Addition etc. sinnvoll definiert ist. Die Menge $\begin{eqnarray*} M : \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ kann z.B. nicht als Erzeugendensystem dienen, weil die Addition der beiden Vektoren nicht definiert ist.

Zitat:

Es ist keine Basis, da linear abhängige Vektoren in der Matrix vorhanden sind. Die Basis wäre hier 1, somit ist die Dimension auch 1

Auch hier wieder: richtig, aber Vorsicht mit der Basis: mögliche Basen von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind die Mengen $\begin{eqnarray*} \{ v_1 \} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \{ v_2 \} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \{ v_3 \} \end{eqnarray*}$ etc. Jede dieser Menge ist eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , aber "1" ist keine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , sondern die Dimension von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

07.01.2014, 09:41

someuser

Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam wirds :-)

Im Prinzip ist die Menge von U eine Art Formel mit der man alle Vektoren in einem gegebenem Raum R^X abbilden lässt. Was ich mich noch Frage, in dem Beispiel gibt es nur ein Element im Spann, wenn es noch ein weiteren Vektor v10 = (5 10 15) gäbe der von den anderen LU ist, muss im Spann ein neues Element hinzugefügt werden (a; 2a; 3a), richtig? Dann hätte ich zwei Elemente in meinem Spann, somit eine Dimension von 2 ? Die Menge im Spann enthaltener Elemente definiert die Dimension?

07.01.2014, 16:30

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was ich mich noch Frage, in dem Beispiel gibt es nur ein Element im Spann...

Im Spann, also der linearen Hülle, sind immer unendliche viele Vektoren, denn es ist ein (Unter-)Vektorraum. Was du meinst, ist die Dimension des Spanns. Bitte unterscheiden!

Zitat:

wenn es noch ein weiteren Vektor v10 = (5 10 15) gäbe der von den anderen LU ist, muss im Spann ein neues Element hinzugefügt werden (a; 2a; 3a), richtig?

Nicht ganz. Sagen wir, dein Erzeugendensystem von U sei nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist dies nicht nur ein Erzeugendensystem, sondern sogar eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , der Spann hat also die Dimension 2 und lässt sich schreiben als
$\begin{eqnarray*} U = \left\{ a \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} | a, b \in \mathbb{R}\right\} = \left\{ \begin{pmatrix} a + b \\ 2(a+b) \\ 3(-a+b) \end{pmatrix} | a, b \in \mathbb{R}\right\} = \left\{ \begin{pmatrix} r \\ 2r \\ s \end{pmatrix} | r, s \in \mathbb{R}\right\} = \left\{ r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} | r, s \in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$
Die Umformung ist nicht trivial und geht mit der Ersetzung $\begin{eqnarray*} r := a + b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s := -a + b = r - 2a \end{eqnarray*}$ .
Man sieht, dass auch die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden.

Zitat:

Dann hätte ich zwei Elemente in meinem Spann, somit eine Dimension von 2 ? Die Menge im Spann enthaltener Elemente definiert die Dimension?

Wie gesagt, im Spann immer unendlich viele Elemente - die Dimension ist die Anzahl der Elemente in der Basis.
Wichtig: "Die" Basis ist nicht eindeutig, es gibt sogar unendlich viele mögliche Wahlen einer Basis, ABER: die Anzahl der Vektoren in jeder basis ist eindeutig!

Neue Frage »

Antworten »

Dimension des Spanns der Zeilenvektoren einer Matrix bestimmen

Verwandte Themen