Eigenwerte berechnen charakteristisches Polynom |
| 05.01.2014, 00:40 | Nici8989 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| Eigenwerte berechnen charakteristisches Polynom Hallo liebe Leute ! Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter: Gegeben ist eine Matrix A: 2 0 0 0 3 -1 0 -1 3 die aufgabe ist es nun eigenwerte und eigenvektoren zu bestimmen. Meine Ideen: Ich habe da ein Problem bei den Eigenwerten: habe folgndes berechnet det( A -?E ) und rausbekommen: Det(-?3+8?2?21?+18) jetzt weiß ich allerdings nicht weiter wie ich daher meine Eigenwerte bekomme. In der Vorlesung hatten wir ein Beispiel gemacht wo man die Eigenwerte anhand des charakteristischen Polynoms durch ein zweimal umformen leicht ablesen konnte hier komm ich da aber leider nicht weiter. Bitte um eure Hilfe, Vielen Dank ! mfg Nici |
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| 05.01.2014, 00:59 | dastrian | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
| RE: Eigenwerte berechnen charakteristisches Polynom Wenn beim Copy-und-Paste die Sonderzeichen durch Fragezeichen ersetzt werden, dann musst du das wohl oder übel per Hand korrigieren, sonst wird man dir hir nicht helfen können. Das charakteristische Polynom, das man herausbekommt, ist relativ einfach zu lösen. Tipp: Nicht einfach alles ausmultiplizieren, sondern versuchen, Linearfaktoren auszuklammern |
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| 05.01.2014, 01:13 | nici8989 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
hallo. danke ok also "mü" ersetze ich dann durch "x" also mein charakteristisches polynom lautet: -x^3 + 8x^2 -20x + 16 ich habe es versucht mittels zusammenfassen was dann (2-x)*(3-x)^2 *(2-x) = 0 indem fall hätte ich 2 eigenwerte "2" aber auf den dritten komm ich einfach nicht bzw. wolframalpha sagt der 3. eigenwert lautet 4 ich bekomm aber 3 raus 
lg |
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| 05.01.2014, 01:35 | dastrian | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
OK, das schaut schonmal ganz gut aus, dein charakteristisches Polynom ist richtig, und die Zusammenfassung auch fast mit folgender Korrektur in rot:
Und damit die Eigenwerte offensichtlicher werden, kann man hier noch einmal (2-x) ausklammern: ... Jetzt bist du wieder dran! Zwei Bemerkungen aber noch: 1. Wenn du von der Matrix auf normale Art und Weise das charakteristische Oplynom bestimmst ohne Klammern wie aufzulösen, dann kommst du sofort auf obiges Ergebnis, ohne den Aufwand mit dem Polyom -x^3 + 8x^2 -20x + 16 zu haben! Nur als Tip. 2. Um die Formeln noch ansehnlicher zu machen: Aus
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| 05.01.2014, 13:11 | nici8989 | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Hallo 
Danke dir !!! es ist schön zu wissen dass ich gar nicht so falsch lag ... und danke für den tipp auf hallo. dann hab ich wohl unnötig weiter gerechnet weil auf (2-x)(3-x)(3-x)-(2-x) bin ich nach dem kürzen e gleich mal gekommen nur hab ich dann gedacht da ich daraus nichts rauslesen konnte ich versuch es mal mit dem char. polynom ... danke wenn ich (2-x) nochmal raushebe lassen sich die eigenwerte wirklich ablesen :-) also ich habe jetzt x1 = 2 x2 = 2 x3 = 4 ... jetzt bin ich bei den eigenvektoren wo ich leider wieder etwas anstehe :-/ ich bin mal soweit gekommen: Eigenvektor = a für x1 = 2 2-2 0 0 0 3-2 -1 0 -1 3-2 daraus ergibt ich dann folgendes Gleichungssystem 0 a1 + 0 a2 + 0 a3 = 0 0 a1 + 1 a2 - 1 a3 = 0 0 a1 - 1 a2 + 1 a3 = 0 und irgendwie fallt da a1 doch weg ? wie komm ich da auf den eigenvektor - oder hab ich bereits fehler gemacht? danke mfg |
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| 05.01.2014, 20:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||||
Fehler sehe ich keinen, allerdings fällt a1 nicht weg, im Gegenteil, für a1 kannst du - wegen des Nullfaktors davor in allen drei Zeilen - jeden beliebigen Wert nehmen. Für die anderen beiden Komponenten gilt a2 = a3 (= t), gemäß den beiden unteren Zeilen. Somit lautet der Eigenvektor allgemein t*(r; 1; 1), es gibt also zu diesem Eigenwert (2) eine Schar von linear unabhängigen Eigenvektoren. Beim Eigenwert 4 liegt der Fall unterschiedlich. mY+ |
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