Inverse Elemente eines Monoiden

05.01.2014, 02:29

Hamude

Inverse Elemente eines Monoiden

Hallo

Aufgabe :

Bestimme zu $\begin{eqnarray*} x\in \left\{ 0,1,2,..,11\right\} \end{eqnarray*}$ das Inverse in $\begin{eqnarray*} C_{12} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe einen 12-Elementigen Monoiden gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} C_{12} := \left(\left\{ 0,1,2,..,11\right\}, +_{12}, 0 \right) \end{eqnarray*}$

Also Sozusagen die Addition aller natürlichen Zahlen von 0 bis 11.
Ich habe jetzt auch eine Verknpüfungstafel für die Addition erstellt und immer -12 gerechnet sobald die Zahle größer als 12 wurde.

Was genau muss ich aber jetzt aus meiner Verknüpfungstafel herauslesen, um die Aufgabe zu erfüllen?

05.01.2014, 04:19

dastrian

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RE: Inverse Elemente eines Monoiden
Hi! Also das inverse Element zu $\begin{eqnarray*} x \in C_{12} \end{eqnarray*}$ ist dasjenige Element $\begin{eqnarray*} y \in C_{12} \end{eqnarray*}$ , welches zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ addiert das neutrale Element ergibt.

Da du schon richtig geschrieben hast

Zitat:

$\begin{eqnarray*} C_{12} := \left(\left\{ 0,1,2,..,11\right\}, +_{12}, 0 \right) \end{eqnarray*}$

gehe ich davon aus, dass du weißt, dass $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element ist.

Suche also zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , sodass gilt
$\begin{eqnarray*} x + y = 0 \end{eqnarray*}$
Falls dir jetzt noch nicht klar wird, was zu tun ist, nimm dir einfach ein paar Beispiele: was muss man (in $\begin{eqnarray*} C_{12} \end{eqnarray*}$ ) zu $\begin{eqnarray*} x=11 \end{eqnarray*}$ addieren, damit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ herauskommt? Und so weiter...

05.01.2014, 05:13

Hamude

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Also wenn x=11 ist dann müsste ich y=1 addieren da wenn ich 12 abziehe 0 rauskommt.
Ist dann die Lösung:

1+11=0
2+10=0
3+9=0
4+8=0
5+7=0
6+6=0

Wie schreibe ich das mathematisch richtig auf, dass z.b 11 das inverse von 1 ist usw.

05.01.2014, 10:13

dastrian

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Sehr gut!

Zitat:

Original von Hamude
Wie schreibe ich das mathematisch richtig auf, dass z.b 11 das inverse von 1 ist usw.

Also wenn ihr die Modulo-Schreibweise hattet, dann schreibt man das meistens so:
$\begin{eqnarray*} 11 + 1 = 12 \equiv 0 \ (\textup{mod} 12) \end{eqnarray*}$
Falls ihr diese Schreibweise nicht hattet, dann keine Sorge, musst du dich damit auch nicht beschäftigen, dann schreib einfach
$\begin{eqnarray*} 11 + 1 = 0 \end{eqnarray*}$
sehr viel mehr gibts dann zum inversen Element von 11 auch nicht zu sagen...
Kannst du denn eine allgemeine Formel für das Inverse Element von $\begin{eqnarray*} x \in \{1,2,3, \ldots, 10,11\} \end{eqnarray*}$ finden?

05.01.2014, 10:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von dastrian
Also wenn ihr die Modulo-Schreibweise hattet, dann schreibt man das meistens so:
$\begin{eqnarray*} 11 + 1 = 12 \equiv 0 \ (\textup{mod} 12) \end{eqnarray*}$

Du kannst übrigens auch \pmod{12} schreiben und erhältst
$\begin{eqnarray*} 12\equiv0\pmod{12}\,. \end{eqnarray*}$

05.01.2014, 16:14

Hamude

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Zitat:

Original von dastrian
Kannst du denn eine allgemeine Formel für das Inverse Element von $\begin{eqnarray*} x \in \{1,2,3, \ldots, 10,11\} \end{eqnarray*}$ finden?

Ist es $\begin{eqnarray*} x+y-12=0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich hätte noch eine weitere Frage:

Diesmal habe ich $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \left\{ 0,1,2,..,11\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t:=x+y+z \end{eqnarray*}$ .
Ich soll begründen dass:

$\begin{eqnarray*} \left(x+_{12}y\right)+_{12}z = t \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t<12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(x+_{12}y\right)+_{12}z = t-12 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} 12\leq < 24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(x+_{12}y\right)+_{12}z = t-24 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} t>24 \end{eqnarray*}$

Und dann darauß dass Assoziativgesetz schlussfolgern.

Mein Ansätze sind, dass wir t-12 und t-12 rechnen, um wieder Zahlen zu bekommen die in der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,2,...,11\right\} \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Wie man aber darauß das Assoziativgesetz schließen soll, dazu habe ich keine Idee.

05.01.2014, 20:18

dastrian

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Zitat:

Original von Hamude

Zitat:

Original von dastrian
Kannst du denn eine allgemeine Formel für das Inverse Element von $\begin{eqnarray*} x \in \{1,2,3, \ldots, 10,11\} \end{eqnarray*}$ finden?

Ist es $\begin{eqnarray*} x+y-12=0 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, aber wie schaut die explizite Formel für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann aus? (Also $\begin{eqnarray*} y = \ldots \end{eqnarray*}$ )

Im Übrigen ist es sehr nützlich, dass wir jetzt zwischen der "normalen" Addition $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen und der " $\begin{eqnarray*} C_{12} \end{eqnarray*}$ -Addition" $\begin{eqnarray*} +_{12} \end{eqnarray*}$ unterscheiden, also
$\begin{eqnarray*} 9 + 6 = 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9 +_{12} 6 = 3 \end{eqnarray*}$
Bei deiner nächsten Frage ist ja $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ erstmal mit der "normalen" Addition definiert. Dass man ggf. von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 24 \end{eqnarray*}$ abzieht, damit man wieder ein Ergebnis im Bereich $\begin{eqnarray*} \{0, \ldots, 11\} \end{eqnarray*}$ bekommt, ist richtig, und auch ansonsten finde ich die erste Teilaufgabe relativ offensichtlich. Wenn man hier noch genauer begründen will, warum das so ist, dann müsste man vielleicht erstmal sagen, dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall im Bereich $\begin{eqnarray*} \{0, \ldots, 33\} \end{eqnarray*}$ liegt und dann fragen, wie ihr denn die Addition in $\begin{eqnarray*} C_{12} \end{eqnarray*}$ definiert habt? Man könnte sich dann $\begin{eqnarray*} s := x+y \end{eqnarray*}$ definieren und dort eine ähnliche Unterscheidung in $\begin{eqnarray*} s<12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \geq 12 \end{eqnarray*}$ aufmachen. Und dann entsprechend nach $\begin{eqnarray*} t = s + z \end{eqnarray*}$ gehen.

Um die Assoziativität daraus zu folgern, würde ich die Assoziativität der natürlichen Zahlen ausnutzen, d.h. wir wissen $\begin{eqnarray*} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z=:t \end{eqnarray*}$ , und mir dann Gedanken über
$\begin{eqnarray*} x+_{12} \left( y +_{12} z \right) = \ldots \end{eqnarray*}$
machen.

p.s. @Che: Nett, das wusste ich gar nicht!!

06.01.2014, 21:33

Hamude

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Ich glaub ich habe es verstanden.
Vielen Dank^^

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