komplexe Zahlen - Nullstellen

05.01.2014, 16:20

Lynn2

komplexe Zahlen - Nullstellen

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass es eine reelle und eine rein imagin¨are Nullstelle der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(z) = 0 \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(z) = z^{4} + 4z^{3} + 6z^{2} + (6 - 2i) + 3-2i \end{eqnarray*}$
gibt. Ermitteln Sie anschließend die verbleibenden Nullstellen der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(z) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Muss ich hier nach einer Nullstelle suchen und dann die Polynomdivision anwenden?

05.01.2014, 16:30

Paranoide

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Zunächst zur Sicherheit:
Soll es tatsächlich $\begin{eqnarray*} (6-2i) \end{eqnarray*}$ oder eher $\begin{eqnarray*} (6-2i)z \end{eqnarray*}$ heißen?

LG

05.01.2014, 16:33

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} f(z) = z^{4} + 4z^{3} + 6z^{2} + (6 - 2i)z + 3-2i \end{eqnarray*}$ soll es heißen, danke für den Hinweis. smile

05.01.2014, 17:29

Stefan03

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RE: komplexe Zahlen - Nullstellen

Zitat:

Original von Lynn2

Meine Ideen:
Muss ich hier nach einer Nullstelle suchen und dann die Polynomdivision anwenden?

Ja, du musst sie quasi erraten, aber das ist in diesem Fall kein Problem...

05.01.2014, 18:05

Lynn2

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RE: komplexe Zahlen - Nullstellen
Minus 1 wäre somit eine Lösung dieser Gleichung, richtig?

05.01.2014, 18:08

Stefan03

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ja, richtig.

05.01.2014, 19:09

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} (z^{4} + 4z^{3} + 6z^{2} + (6 - 2i)z + 3-2i) : (z+1) \end{eqnarray*}$
Hier komme auf $\begin{eqnarray*} z^3 -5z^2+11z + (-5-2i) + \frac {8}{z+1} \end{eqnarray*}$ . Ist das richtig??

05.01.2014, 19:30

Stefan03

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Hi,
nein, das Ergebnis stimmt nicht. Wenn "du durch eine Nullstelle teilst", geht das immer ohne Rest auf.

Dir ist schon ein Fehler beim quadratischen Term unterlaufen.

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} z^3+3z^2+... \end{eqnarray*}$ Einfach nochmal probieren smile

05.01.2014, 21:56

Lynn2

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Fehler gefunden. Danke smile

Ergebnis $\begin{eqnarray*} z^3+3z^2+3z+(3-2i) \end{eqnarray*}$

05.01.2014, 21:59

Lynn2

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Hier gibt es doch sicherlich noch andere Nullstellen oder? Wie finde ich diese?

05.01.2014, 22:43

mYthos

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Auch zu errraten.
Es steht doch in der Angabe, dass es noch eine rein imaginäre Lösung gibt.
Versuche es mal mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ..

mY+

05.01.2014, 23:39

Lynn2

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Na klar, ganz einfach. Danke. smile

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