Abb. Quotientenraum - Surjektivität?

05.01.2014, 17:18	ShaShinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Abb. Quotientenraum - Surjektivität? Im Moment lerne ich Quotientenräume und Abbildungen hierzu, etwa: Sei V ein Vektorraum und U ein Unterraum von V. Gegeben sei die Abbildung $\begin{eqnarray} f: V \to V/U \end{eqnarray}$ . Kann mir dazu mal bitte jemand ein Beispiel nennen? Etwa für $\begin{eqnarray} V = \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Wie kann ich dann ganz einfach einen Unterraum wählen sodass V/U sehr anschaulich wird? Zur eigentlichen Frage dann: Wieso ist so eine Abbildung surjektiv? Und wieso ist dann diese Abbildung auch surjektiv (mit U1, U2 als Unterräumen zu V): $\begin{eqnarray} g: V/U_1 \to V/U_2 \end{eqnarray}$ ? Vielen Dank für eure Hilfe!
05.01.2014, 17:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} V/U=\{v+U:v\in V\} \end{eqnarray}$ ist ein Vektorraum, wenn man in $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ die Addition und die skalare Multiplikation definiert durch $\begin{eqnarray} (v+U)+(w+U):=(v+w)+U, a(v+U):=(av)+U \end{eqnarray}$ Für beliebige Abbildungen f und g gilt das sicher nicht, da musst du mehr bieten.
05.01.2014, 20:57	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
mit f ist bestimmt die natürliche projektion $\begin{eqnarray} \sigma : V\to V/U, v\mapsto [v] = v+U \end{eqnarray}$ gemeint, oder? aber wie elvis gesagt hat: beliebige soche abbildungen sind nicht surjektiv. als beispiel nimm dir im IR^3 z.b. eine gerade (durch den ursprung) als unterraum U. V/U besteht dann (als menge) erstmal aus allen, zu der geraden U parallelen, geraden im IR^3. jede dieser geraden kannst du mit ihrem (eindeutigen) schnittpunkt mit der, zu U senkrechten ursprungsebene, identifizieren. so kann man V/U also anschaulich als diese ebene auffassen, und die vektorraumstruktur ist dann in V/U auch genau die gleiche, wie in dieser ebene. also grob gesprochen: $\begin{eqnarray} V/\text{Gerade} \cong \text{Ebene} \end{eqnarray}$ und da alle ebenen bzw. alle geraden isomorph sind, kann man auch z.b. sagen: $\begin{eqnarray} V/\text{Gerade} \cong \mathbb R^3/\mathbb R \cong \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ oder auch $\begin{eqnarray} V/\text{Ebene} \cong \mathbb R^3/\mathbb R^2 \cong \mathbb R \end{eqnarray}$ lg
06.01.2014, 06:35	ShaShinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also eigentlich wollte ich zeigen dass die Abbildung (wobei $\begin{eqnarray} U_1 \subseteq V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f: V \to (V/U_1)/(U_2/U_1) \end{eqnarray}$ surjektiv ist (und anschließend den ersten Isomorphiesatz anwenden). Und da da dies eine verkettete Funktion ist wollte ich zeigen dass die ursprünglichen Funktionen surjektiv sind, d.h.: $\begin{eqnarray} g: V \to V/U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h: V/U_1 \to (V/U_1)/(U_2/U_1) \end{eqnarray}$ sind surjektiv. Und wie geht das?
06.01.2014, 17:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen sind nicht nur durch Wertemenge und Bildmenge definiert, es gehört immer auch der Graph der Funktion dazu, oder genau so gut, die Abbildungsvorschrift. Wenn $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die kanonische Projektion ist (das hat weisbrot schon vorgeschlagen), also $\begin{eqnarray} g:V\to V/U_1, v\to v+U_1 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ per def ein surjektiver Homomorphismus, und für $\begin{eqnarray} U_1\subseteq U_2\subseteq V \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} V/U_1 \cong (V/U_1) / (U_2 / U_1) \end{eqnarray}$ der 2. Isomorphiesatz (siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Isomorphiesatz )
07.01.2014, 07:40	ShaShinn	Auf diesen Beitrag antworten »
Und $\begin{eqnarray} (V/U_1)/(U_2/U_1) \end{eqnarray}$ Wie kann ich mir das als Menge vorstellen? Etwa so? $\begin{eqnarray} (V/U_1) := v + U_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (U_2/U_1) := w + U_1, w \in U_2 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} (V/U_1)/(U_2/U_1) := (v+U_1) + (U_2/U_1) = ? \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} h: V/U_1 \to (V/U_1)/(U_2/U_1) \end{eqnarray}$ nämlich surjektiv ist möchte ich mir erstmal vorstellen können was alles in der Bildmenge enthalten ist.
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07.01.2014, 17:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorstellen ist manchmal eine prima Sache, z.B. dann wenn man auf gute Ideen kommen oder einen Beweis in der Anschauung nachvollziehen möchte. Vorstellen hat aber auch deutliche Grenzen, denn die Anschauung ist nicht beweiskräftig, und sie hat enge Grenzen. Wie möchtest du dir z.B. solche Quotientenräume im Vektorraum des Polynomrings über dem Körper der meromorphen Funktionen auf einer Riemannschen Fläche vorstellen ? Kann das jemand ? Ich habe da erhebliche Zweifel. Allgemein ist diese Konstruktion als Menge genau das, was du geschrieben hast, ja so ist es. Wieso glaubst du, dass du dir das "noch irgendwie anders" vorstellen kannst ?

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