Vorgehen bei Modulo Rechnungen

05.01.2014, 19:11

hh18

Vorgehen bei Modulo Rechnungen

Meine Frage:
Moin,

Ich habe versucht die folgenden 2 Aufgaben nach dem gleichen Vorgehen zu lösen, bei der ersten klappts bei der zweiten nicht - sehe gerade nicht wo ich den Fehler mache bzw was an meinem Vorgehen falsch ist:
Aufgabe 1)
$\begin{eqnarray*} 5^{99} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
Aufgabe 2)
$\begin{eqnarray*} 3^{12} \bmod 11 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Aufgabe 1)
$\begin{eqnarray*} 5^{99} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
Die Basis kann ich nicht vereinfachen aber den Exponenten. 99 mod 8 = 3
$\begin{eqnarray*} 5^3 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^3 = 125 \text{ somit } 125 \equiv 5 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{5^{99} \equiv 5 \bmod 8}} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2)
$\begin{eqnarray*} 3^{12} \bmod 11 \end{eqnarray*}$
Basis i.O, der Exponent kann ich wieder "reduzieren" 12 mod 11 = 1
$\begin{eqnarray*} 3^1 \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{3^{12} \equiv 3 \bmod 11}} \end{eqnarray*}$
Stimmt so nicht da $\begin{eqnarray*} 3^{12} \equiv 9 \bmod 11 \end{eqnarray*}$ gilt

Bin für jeden Tipp dankbar

Gruß
Tim

05.01.2014, 19:25

Egal

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RE: Vorgehen bei Modulo Rechnungen

Zitat:

Original von hh18
$\begin{eqnarray*} 5^{99} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
Die Basis kann ich nicht vereinfachen aber den Exponenten. 99 mod 8 = 3
$\begin{eqnarray*} 5^3 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^3 = 125 \text{ somit } 125 \equiv 5 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{5^{99} \equiv 5 \bmod 8}} \end{eqnarray*}$

Das nennt man Glück. Richtig wäre es so gewesen.

$\begin{eqnarray*} 5^{99}\bmod8\\(5^3)^{33}\bmod 8\\125^{33}\bmod 8\\5^{33}\bmod 8 \end{eqnarray*}$
usw.

05.01.2014, 21:02

hh18

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Hi Egal,

Okay, ich hab das wohl falsch von der Tafel abgeschrieben die Rechenregeln die wir (angeblich Hammer

) aufgeschrieben haben:

[] = Restklasse
$\begin{eqnarray*} [x+y] = [x] + [y] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [x \cdot y] = [x] \cdot [y] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [x^y] = [x]^{[k]} \end{eqnarray*}$

die letzte Regel ist also falsch, es gilt: $\begin{eqnarray*} [x^y] = [x]^k \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 5 ^{99} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{3^3 \cdot 11} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{3 \cdot 11} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{3 \cdot 11} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{11} \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{3^3} \cdot 5^2 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 ^{3} \cdot 5^2 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 \cdot 1 \bmod 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 \bmod 8 \end{eqnarray*}$

Somit wäre dann die "ausführliche" Lösung für Aufgabe 2:
$\begin{eqnarray*} 3^{12} \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^{3\cdot 4} \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3^3 = 27 \bmod 11 = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^{4} \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^{2} \cdot 5^{2} \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5^2 = 25 \bmod 11 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\cdot 3 \bmod 11 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9 \bmod 11 \end{eqnarray*}$

Cool danke Dir für den Tipp Prost

Gruß
Tim

05.01.2014, 22:00

Egal

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Ich würde aus dem Bauch heraus sagen es muss:

$\begin{eqnarray*} [x^k]=[x]^k \end{eqnarray*}$

heissen aber nagel mich bitte nicht drauf fest ob das so mathematisch korrekt ist.
Im Grunde genommen ist ja die Potenz nur die Abkürzung für eine Multiplikation.

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