Integral schätzen

05.01.2014, 20:54

Mimi94

Integral schätzen

Meine Frage:
Hallo,
ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:
Eine monoton wachsende stetige integrierbare Funktion hat die Werte f(-1)=-4, f(0)=-1, f(2)=3 und f(3)=8. Schätzen Sie das Integral von f auf dem Intervall [-1;3].
Ich kann mir nicht denken, wie das mit dem Schätzen gemeint ist. Immerhin kann ich ja einfach den Graph zeichnen und somit das Integral berechnen..??
Ich hoffe auf schnelle Hilfe smile

Vielen Dank und schönen Abend noch.
Mimi

Meine Ideen:
Meine Idee:
Anhand des Graphen den Funktionsterm bestimmen und das Integral berechnen.

05.01.2014, 21:37

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral schätzen
Hallo Mimi!

Den Graph zeichnen und das Integral berechnen kannst du nicht, denn die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss ja nicht unbedingt aus linearen Teilstücken bestehen, sondern kann sehr kompliziert verlaufen! Was wir allerdings wissen, ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ monoton steigt. Wie hilft uns das weiter?
Wegen $\begin{eqnarray*} f(-1) = -4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0) = -1 \end{eqnarray*}$ wissen wir
$\begin{eqnarray*} -4 \leq f(x) \leq -1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [-1,0] \end{eqnarray*}$
Entsprechend findest du Abschätzungen in $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [2,3] \end{eqnarray*}$ .
Gib diese Abschätzungen mal an! Kommst du dann darauf, wie uns das bei der Aufgabe hilft?

06.01.2014, 13:51

Mimi94

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral schätzen
Also ehrlich gesagt hilft mir das jetzt nicht wirklich weiter..
Was genau schätze ich denn? Den Flächeninhalt?
Alles, was ich bisher sagen kann, ist, dass ein positiver Wert rauskommen sollte..

06.01.2014, 18:12

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral schätzen

Zitat:

Original von Mimi94
Also ehrlich gesagt hilft mir das jetzt nicht wirklich weiter..
Was genau schätze ich denn? Den Flächeninhalt?

Naja, wir machen erstmal Abschätzungen über die Funktionswerte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in bestimmten Bereichen. Daraus gewinnen wir dann Abschätzungen über das Integral, aber bleiben wir erstmal bei den Funktionswerten! Verstehst du denn, wie ich auf meine Abschätzung für das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,0] \end{eqnarray*}$ gekommen bin?

Zitat:

Original von Mimi94
Alles, was ich bisher sagen kann, ist, dass ein positiver Wert rauskommen sollte..

Das ist nicht sicher.

06.01.2014, 18:47

Mimi94

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja klar. Ich hatte mir den Graphen falsch aufgezeichnet, deswegen hat das für mich keinen Sinn ergeben.
Für x "Element" [0;2] gilt -1 </= f(x) </= 3
für x "Element" [2;3] gilt 3 </= f(x) </= 8
Wir zerlegen also den gesuchten Intervall [-1;3] in mehrere kleine, über die wir Aussagen treffen können. Kann man denn dann jetzt sagen, dass für x "Element" [-1;3] gilt: -4</= f(x) </= 8? Also in Worten: f(x) liegt zwischen -4 und 8?
Danke für deine Geduld!

06.01.2014, 19:45

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das sind die gesuchten Abschätzungen!!
Und ja, auch das letztgenannte kann man sagen, allerdings ist diese Abschätzung "gröber" als die gesuchte - die Aufgabe ist so gedacht, dass man die Abschätzung jeweils in den Teilintervallen macht.

So, jetzt kommen wir zum Integral, wo wir die Monotonie des Integrals ausnutzen wollen:
Wenn wir zwei integrierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ finden, die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,3] \end{eqnarray*}$ definiert seien und für die gelte
$\begin{eqnarray*} g(x) \leq f(x) \leq h(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [-1,3] \end{eqnarray*}$
dann wissen wir auch:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^3 g(x) dx \leq \int_{-1}^3 f(x) dx \leq \int_{-1}^3 h(x) dx \end{eqnarray*}$
und damit hätten wir Abschätzungen des Integrals über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Wir suchen also Funktionen, die $\begin{eqnarray*} g,h \end{eqnarray*}$ , die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,3] \end{eqnarray*}$ integrierbar sind, von denen wir das Integral ausrechnen können und die die Ungleichungen $\begin{eqnarray*} g(x) \leq f(x) \leq h(x) \end{eqnarray*}$ überall erfüllen. Kommst du drauf, wir wir uns die beiden Funktionen definieren müssen, nach den bisherigen Abschätzungen?

06.01.2014, 20:24

Mimi94

Auf diesen Beitrag antworten »

wie wäre es mit g(x)=3x-3 und h(x)=5x+1?

06.01.2014, 20:42

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Das funktioniert leider nicht. Bei dem Punkt $\begin{eqnarray*} 1.5 \end{eqnarray*}$ wissen wir ja zum Beispiel nur, dass
$\begin{eqnarray*} -1 \leq f(1.5) \leq 3 \end{eqnarray*}$
aber dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} g(1.5) = 1.5 \end{eqnarray*}$ , also muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt über $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ liegen.

Du bist zu sehr auf lineare und stetige Funktionen aus. Vergiss nicht, dass der "Prototyp" der integrierbaren Funktionen die Treppenfunktionen sind, also diejenigen, die auf bestimmten Intervallen konstant sind. Mit solchen Funktionen approximiert man andere Funktionen - wenn diese Approximation hinreichend gut klappt, dann ist die approximierte Funktion integrierbar.
Das also als Tip: $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ werden Treppenfunktionen sein.

Und um sie zu definieren, benutze:
$\begin{eqnarray*} -4 \leq f(x) \leq -1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [-1,0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 \leq f(x) \leq 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 \leq f(x) \leq 8 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [2,3] \end{eqnarray*}$

06.01.2014, 21:20

Mimi94

Auf diesen Beitrag antworten »

ein ganz, ganz dickes danke für deine unterstützung, aber irgendwie ist das system hier recht umständlich.
ich werde morgen mal zu meinem prof watscheln und dann soll er mir die aufgabe erklären.
ich bin nebenher noch mit komplexen zahlen und grenzwerten beschäftigt, die haben jetzt erstmal vorrang.
nichts für ungut und noch einen angenehmen rest-feiertag wünsch ich dir!
viele grüße

06.01.2014, 23:10

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! Nur eine Bitte: wenn's *klick* macht und du die Lösung hast (und sei es mit Hilfe des Profs oder Kommilitonen), dann stell sie in diesen Thread, damit andere, die evtl. mitgelesen haben und auch noch rätseln, auch was davon haben.

Neue Frage »

Antworten »

Integral schätzen

Verwandte Themen