Determinante berechnen einer n x n Matrix - welches Verfahren? |
| 05.01.2014, 23:36 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Determinante berechnen einer n x n Matrix - welches Verfahren? Hallo Leute ! Ich habe eine Matrix B element von K ^ n x n mit Diagonaleinträgen x , alles andere sind 1. So nun soll ich die Determinante der Matrix ausrechnen und zeigen für welche werte von X die Matrix b invertierbar ist. Meine Ideen: Meine Frage: Am liebsten würde ich ja eine annahme machen und zwar dass ich eine 3 x 3 Matrix habe und davon die Determinante ausrechnen. Einfach auf Dreiecksform bringen und zack determinate ausgerechnet aber das darf ich ja nicht weil ich es ja allgemein mit einer n x n Matrix machen muss... Ich habe mir halt gedacht "nun gut , dann entwickel ich es halt". Was ich gemacht hab die einträge der ersten Spalte auf 0 gebracht ( bis auf die einträge der ersten und letzten zeile von der ersten Spalte)und dann wollte ich es entwickeln... mein Problem nur die letzte zeile. Da es eine n x n matrix ist, weiß ich nicht was für ein Vorzeichen die letzte Zeile hat beim entwickeln, weil es ja praktisch unendlich ist. Wie entwickel ich das? Oder könnte man das mit der Vandemondschen Determinante ausrechnen? Ich danke euch im Vorraus! |
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| 06.01.2014, 12:19 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In dem Fall müsstest Du eine Fallunterscheidung machen, und zwar n gerade und n ungerade. Dann ist das Vorzeichen klar. Allerdings sehe ich nicht ganz wie Du da umformst. Ich würde aber anders herangehen: Determinante für n = 2, n = 3 und n = 4 bestimmen. Dann siehst Du eine allgemeine Form , welche Du mit vollständiger Induktion dann beweisen kannst. Als Tip für n =3 und n = 4: Ziehe zunächst von den Zeilen 2 ,3,(4) die erste Zeile ab und erzeuge dann eine untere (!) Dreiecksmatrix (die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalelemente). Damit kommst Du ohne viel Arbeit mit gleichartigen Schritten zum Ziel. |
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| 06.01.2014, 20:05 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok danke dir 
Das ist mir gar nicht in den Sinn gekommen eine Fallunterscheidung zu machen...Naja wie dem auch sei, ich habe das jetzt so gelöst, dass ich es geschafft habe in der Ersten Spalte nur 0 einträge zu haben , bis auf die erste Zeile. Dann habe ich nach der ersten Spalte entwickelt und habe gesehn, dass die letzte zeile linear abhängig ist von den anderen Zeilen somit ist det = 0, falls die Diagonal Elemente x =1 ist. Somit wäre die Matrix nicht invertierbar. Für alle anderen werte von x verschieden 0 wäre sie invertierbar. Ich hoffe man kann auf dem Bild erkennen, was ich gemacht hab. Was du mir aber vorgeschlagen hast hört sich aber eher richtiger an, dass in gerade und ungerade auf zu teilen, da in der Folgeaufgabe die Rede von ist, dass ein Weihnachtsmann n gerade Geschenke auf seinem Schlitten hatten und es so aufteilen will, dass alles im Gleichgewicht ist beim schlitten. Also auf jeder seite n Geschenke. Wir sollen dann zeigen, dass die geschenke alle gleich schwer sind... Naja ist aber halt die nächste Aufgabe^^ Ich dank dir nochmals. |
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| 06.01.2014, 20:58 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Offensichtlich sind für x = 1 alle Spalten und Zeilen gleich und damit natürlich linear Abhängig, was det = 0 zur Folge hat. So gehts nicht. Ansonsten kann ich auch nicht klar erkennen was Du machst. Ich zeigs dir mal Beispielhaft für n = 3 und n = 4: n = 3: Zeile II - Zeile 1 Zeile III - Zeile 1 ergibt Zeile I - 1/(x - 1)*Zeile III (x ungleich 1) Zeile I - 1/(x - 1)*Zeile II (x ungleich 1) Also ist die Determinante: für x ungleich 1. Für x = 1 wissen wir dass da die Determinante 0 ist. n = 4: Zeile II - Zeile 1 Zeile III - Zeile 1 Zeile IV - Zeile 1 ergibt Zeile I - 1/(x - 1)*Zeile IV (x ungleich 1) Zeile I - 1/(x - 1)*Zeile III (x ungleich 1) Zeile I - 1/(x - 1)*Zeile II (x ungleich 1) Damit haben wir also für n = 4 und x ungleich 1. Für x = 1 haben wir wieder 0. Zusammengefasst: n = 3: n = 4: Wie würde dann wohl für Allgemeines n > 1 die Determinante aussehen? |
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| 07.01.2014, 00:58 | Derive13 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich misch mich mal kurz ein: Diese ist eine der Determinanten, bei der die Matrix folgende Eigenschaft hat: Die Summe der Elemente ist in jeder Zeile und in jeder Spalte gleich (also x+n-1). Bei solchen Determinanten kann man in einem Schritt erstmal alle Zeilen ab der zweiten zur erste hinzuaddieren und im Ergebnis hat man eine erste Zeile, die immer denselben Eintrag (hier x+n-1) enthält. Diesen Wert kann man nun vor die Determinante ziehen, wodurch in der ersten Zeile ausschließlich Einsen verbleiben (quasi ausklammern, Determinante ist ja Multilinearform!). Das ist schonmal sehr gut. Wenn man jetzt das Negative dieser ersten Zeile zu jeder anderen Zeile addiert (also -1 zu jedem Matrixelement ab Zeile 2 addiert) hat man dieses Problem schon fast gelöst. Man muss noch einmal ganz einfach entwickeln und hat die Determinante einer hübschen Diagonalmatrix einfach auszugeben. Mit dieser Methode kann man auf eine aufwändige Induktion verzichten und die Aufgabe in einer Zeile lösen
Edit: Jenes Entwickeln kann man sich natürlich sparen, die Matrix hat im Schritt davor schon Diagonalgestalt. |
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| 07.01.2014, 15:38 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK Leute danke euch beiden
Das hat mir sehr geholfen. Ich weiß jetzt wie das geht. |
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| 07.01.2014, 16:39 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Physikbegeisterter: studierst du zufällig in Heidelberg? 
Und wenn ja, hast du denn Ideen zur nächsten Aufgabe?^^ |
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| 07.01.2014, 17:33 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
HAHAHAh ja doch ich studier in Heidelberg...ich hab da LA1 Vorlesung beim Riedel im KIP. Zuerst muss ich die Teilaufgabe b) erstmal ordentlicht beweisen. Ich mach das aufjedenfall per Induktion, weil der Tutor mir gesagt hat, dass wir es mit vollständiger Induktion machen sollen. Mir ist gerade beim schreiben die Lösung eingefallen^^ Ich beweis die teilaufgabe b) mit vollständiger Induktion ( ob n gerade oder ungerade ist spielt keine Rolle, da ja die vorzeichen über -1^i+j bestimmt werden ) und entwickel das solange nach der Zeile (oder Spalte ist egal) bis ich eine 2x2 matrix habe am Schluss. Aber ich tu mich da schwer wie ich das alles ausdrücken soll bei der Induktion.. Aber wenn ich das habe , weiß ich wie ich die Weinachtsmann Aufgabe machen muss und zwar ich teil die n x n matrix in ungerade und gerade auf. So, dann bestimme ich die determinante von der ungeraden und geraden Matrix per Induktion. Jetzt kommt der Clue, falls die Determinanten gleich sind von der geraden und ungeraden Matrix, so sind die Geschenke gleichgewichtet^^ So ungefähr stelle ich mir das vor. Edit: Ich darf die Zeilen und Spalten doch nicht so belassen wie die sind... sonst hätte ich am Ende Tausend verschieden 2x2 Matrizen. Ich brauch aufjedenfall eine nullzeile oder nullSpalte worüber ich entwickeln kann. |
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| 07.01.2014, 17:45 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha... Was meinst du mit der ungeraden und geraden Matrix? |
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| 07.01.2014, 17:59 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben ja eine n x n Matrix. Nun , wenn wir entwickeln, müssen wir auf das Vorzeichen achten, nicht wahr? Nur leider haben wir eine n x n Matrix , die bis ins unendliche geht... d.h. wir können es nicht entwickeln( habe ich anfangs gedacht). Deswegen meinte Mazze im zweiten Beiträgen die n x n Matrix auf zu teilen in eine 2n x 2n Matrix( Also eine Matrix mit geraden Zeilenanzahl) und eine 2n+1 x 2n+1 Matrix ( Also eine Matrix mit ungeraden zeilenAnzahl). Das ist mit ungerader und gerader Matrix gemeint. Derive 13 hat recht. Ich mach das so wie du es gesagt hast ,über diese Methode geht das am schnellsten und einfachsten. |
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| 07.01.2014, 18:12 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie kann ich das trotzdem nicht nachvollziehen. Ich weiß einfach nicht, wie ich diese abstrakte Matrix auf das Problem der Geschenke anwenden soll. Oder was das alles mit dem Körper zu tun hat... Sollen die Einträge der Matrix die Geschenke darstellen oder was? Und warum bedeutet, dass die Determinanten gleich sind, dass alle Geschenke gleich schwer sind? |
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| 07.01.2014, 20:32 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry das ich so spät antworte
Das es etwas mit dem Körper F2 zu tuen hat , wirst du merken, wenn du die determinante bestimmt hast von b)... Das mit den Geschenken ist mir jetzt einfach intuitiv eingefallen... Ich glaube die die menge der Geschenke ist die ungerade Matrix . Eine Determinante ordnet einen Endomorphismus einem Skalar zu. Wenn der Skalar das Gewicht der Geschenke angibt... Why Not? Ich habe selbst nicht soviel Ahnung, sind alles nur Vermutungen. Ich muss das selber noch ausrechnen und logisch begründen. |
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| 07.01.2014, 20:48 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab die Determinante von b) bereits bestimmt :/ Aber trotzdem weiß ich nicht weiter. Mir ist jetzt nur bekannt, dass die Matrix nicht invertierbar ist, wenn x=1 ist, also nur invertierbar (in F2), wenn x=0... |
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| 07.01.2014, 20:58 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
siehe hier. |
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| 07.01.2014, 21:47 | Physikbegeisterter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Determinante hast du schon mal richtig berechnet. Die habe ich auch . Bevor ich aber die Aufgabe 42 lösen kann, müsste ich dafür vorraussetzen dürfen , dass Matrizen auch Mengen darstellen können... Ich hatte mal Bwl in der Schule gehabt und da hatten wir rohstoffmatrizen, also Mengen. Nur ich weiß nicht wie ich das mathematisch begründen soll, dass lineare Abbildungen Mengen sein können...Falls das so ist, dann würde ich wie folgt die aufgabe 42 lösen und zwar: Wir haben ja die Matrix bei b) ausgerechnet , nicht? Also nehmen wir die Matrix, die wir ausgerechnet haben und setzen vorraus das es sei eine ungerade Matrix. Nun nehmen wir eine Spalte und/oder Zeile Weg. Erhalten somit eine gerade Matrix( 2n geschenke). Wir könnten jetzt die Matrix in 2 Blöcke(linke und rechte seite Geschenke auf Schlitten) aufteilen,also in zwei hälften. Davon die Determinante bestimmen( Was wir schon berechnet haben und ein Skalar ergibt. Nur ich weiß ob der skalar das Gewicht der Geschenke angibt...Keine Ahnung,Wayne). Gucken ob die Determinanten gleich sind, wenn ja, haben alle das gleiche Gewicht. Das wäre höchstens meine Idee aber sie ist recht schwachsinnig, nicht logisch begründet und gerechtfertigt^^ Ist viel Fantasie mit bei ^^ Ich wüsste jetzt auch nicht wie ich es lösen könnte. Ich warte noch auf die Mail meines Tutors. Aber hey besser als gar nix meine Antwort. |
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| 07.01.2014, 21:57 | Kääsee | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich gebe wohl auf 
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