Endomorphismus der kein Automorphismus ist

06.01.2014, 09:34

Luxa

Endomorphismus der kein Automorphismus ist

Ich verstehe noch nicht ganz den Unterschied zwischen Endomorphismus und Automorphismus. Laut Vorlesungs-Definition ist ein Automorphismus ein bijektiver Endomorphismus. D.h. im Prinzip dass ein Endomorphismus nicht bijektiv sein muss, wenn doch ist er ein Automorphismus. Ich kenne die Definition von bijektiv!
Meine Frage ist ob vielleicht jemand eine Beispiel für einen nicht bijektiven Endomorphismus, also einen Endomorphismus der kein Automorphismus ist, hat? Würde mir echt helfen mir das besser vorzustellen!!

Vielen Dank für eure Antworten im voraus! smile

06.01.2014, 09:57

Iorek

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Was ist denn (neben der Identität) der einfachste Endomorphismus, der dir so einfallen würde? Augenzwinkern

06.01.2014, 14:30

Luxa

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Hmmm, ich weis zwar nicht ob du diesen meinst aber ein Endomorphismius wäre z.b.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ : ( x , y ) = ( x - y , 0)
Womit meine Frage beantwortet ist XD

An welchen Endomorphismus hättest du gedacht?
BZW hast du vielleicht einen Tipp wie man selbst solche Beispiele findet? Mir fallen immer nur sehr wenige Beispiele ein... bzw. meistens nur diejenigen die ich aus der Vorlesung kenne oder in einem Buch gesehen habe oder welche die denen sehr ähnlich sind... verwirrt

06.01.2014, 15:20

Iorek

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Zitat:

Original von Luxa
Hmmm, ich weis zwar nicht ob du diesen meinst aber ein Endomorphismius wäre z.b.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ : ( x , y ) = ( x - y , 0)

Das Gleichheitszeichen ist hier problematisch, da sollte entweder ein Pfeil $\begin{eqnarray*} \mapsto \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ hin.

Ich hätte einen viel einfacheren genommen. Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathcal V\rightarrow\mathcal V,v\mapsto 0_{\mathcal V} \end{eqnarray*}$ (also die Abbildung, die alles auf den Nullvektor schickt) ein Endomorphismus. Wenn nun $\begin{eqnarray*} \mathcal V\neq\{0\} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist dieser Endomorphismus nicht bijektiv.

Wie kommt man auf solche Beispiele? Übung, Erfahrung, Spaß am ausprobieren. Das kommt aber mit der Zeit. smile

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