Stetige Funktion

06.01.2014, 16:00	Wess	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion Hallo! Ich habe eine Frage zu einem Beweis, ich hänge leider total :S Es geht um folgendes: Es sei $\begin{eqnarray} f:[0,2] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig mit $\begin{eqnarray} f(0)=f(2) \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass ein $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ existiert mit $\begin{eqnarray} f(x+1)=f(x) \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist, dass ich mit meinem Latein am Ende bin, ich habs mit dem Zwischenwertsatz, dem Fixpunktsatz, dem Satz mit der Intervalltreue, und den Definitionen von Stetigkeit probiert, aber ich bin bei Sämtlichem nicht weitergekommen. :S Meine Frage: Hab ich etwas übersehen, womit man hier weiterkommt? Oder arbeite ich schon mit den richtigen Sätzen, und übersehe etwas? Über einen kleinen Schubser in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen! mfg
06.01.2014, 17:12	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Funktion Hallo, ich würde es tatsächlich mit dem Zwischenwertsatz probieren, allerdings nur, wenn nicht gerade $\begin{eqnarray} f(1)=f(0) \end{eqnarray}$ gilt. Betrachte doch eine geeingete Abwandlung der Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die dir die richtige Aussage beweist! Mfg Michael
06.01.2014, 17:49	Wess	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Funktion Ich habe auch bereits Überlegungen in die Richtung angestellt, also dass ich mir die Funktion eventuell nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ betrachte, und dann die Funktion auf $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ , und laut Zwischenwertsatz muss es dann in beiden Intervallen für ein beliebiges $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ geben mit $\begin{eqnarray} f(c) \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} f(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ sowie zwischen $\begin{eqnarray} f(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(2) \end{eqnarray}$ . Und hier wäre dann $\begin{eqnarray} f(c+1)=f(c) \end{eqnarray}$ ? Ich habe leider wenig Ahnung, wie ich das, was ich mir da gedacht habe, am besten hinschreibe. Geht meine Überlegung in die richtige Richtung? Oder was meinst du mit Abwandlung der Funktion? Vielen lieben Dank und lg!
06.01.2014, 18:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die "geeignete Abwandlung" $\begin{eqnarray} g: \ [0,1] \to \mathbb{R} \, , \ \ g(x) = f(x+1) - f(x) \end{eqnarray}$ Begründe zunächst, warum $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ stetig ist. Und dann?
06.01.2014, 18:23	Wess	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, ich überleg mir mal ein paar Sachen dazu, bzw. schau ob ich weiterkomm, und meld mich dann wieder, wird aber sicher etwas dauern lg

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