(x+y)^n -x^n -y^n

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martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »
(x+y)^n -x^n -y^n
Meine Frage:
Hallo, aus dem Pylinom
E=(x+y)^n -x^n-y^n, wenn n=6t+-1, ergibt sich eine Regel.
wenn p=x²+xy+y² und k=(n-1)/2
dann E= yp^k+..........jp^ für n=6t+1
E=yp^k+..........jp^1 fpr n=6t-1
Ich kann euch die Polynome für n=5,7,11,13,17,19 bei Bedarf auch weitere Zahlen zeigen.

Ich suche eine Formel in der Kombinatorik mit der man alle Koefizienten berechnen kann, es gibt sie. Wer macht mit, oder hilft mir, oder macht es alleine. Freue mich auf die Antworten.


Ich komme aber mit eurem Formeleditor nicht klar.

Meine Ideen:
Beispiele (keine optimale Darstellung)

(x+y)^13 -x^13-y^13=

+13(x²+xy+y²)^6y^1 +13(x²+xy+y²)^5y^3 -78(x²+xy+y²)^4y^5

+78(x²+xy+y²)^3y^7 -26(x²+xy+y²)^2y^9
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (x+y)^n -x^n -y^n
Zitat:
Original von martinjosef49
dann E= yp^k+..........jp^ für n=6t+1
E=yp^k+..........jp^1 fpr n=6t-1

Wer zum Teufel soll denn verstehen, was du mit den Pünktchen ..... hier meinst??? Ein gibt es ansonsten im gesamten Kontext nicht, und plötzlich taucht es als letzter Koeffizient vor auf?

Vielleicht schreibst du das ganze noch mal ordentlich verständlich auf. unglücklich
 
 
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (x+y)^n -x^n -y^n
Hallo,

ich weiß, meine Darstellung ist nicht gerade optimal. Bitte helf mir dem Formeleditor zu verwenden. Wenn ich auf Vorschau drücke, ist alles verschwunden.
Bin hier neu.
Danke.

Ich zeige dir das Problem:

wenn n von der Form n=6t+-1 , also 5,7,11,13 und p=x²+xy+y² dann gibt es die Formel:

(x+y)^n -x^n -y^n=

n=5 = 5p²y -5py³

n=7 = 7p³y -7p²y³

n=11 = 11p^5y -33p³y^5 +33p²y^7 -11py^9

n=13 = 13p^6y +13p^5y^3 -78p^4y^5 +78p^3y^7 -26p²y^9

Ich kann dir für n=17 bis n=31 diese Formeln zeigen, wenn du willst.

Hinter dem Koefizient steht eine algemeine Formel, die möchte ich finden.

Wie stelle ich Potenzen mit dem Editor da?

mfg mf49
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kurz gesagt: Du willst zeigen, dass sich



zumindest für als Polynom in und darstellen lässt, und möglichst auch noch die Koeffizientendarstellung für dieses Polynom ermitteln?
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es schön dargestellt, und verstanden hast du es auch.
Mein Problem ist, ich kann trotzdem es nicht so darstellen, wie du es getan hast.
matheraum-petze Auf diesen Beitrag antworten »

zur Info:
matheraum.de/read?t=1001585

Mittlerweise ist es auch nur noch Vermutung, nicht mehr Gewissheit wie im Ausgangspost:
Zitat:
es gibt sie.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und für geht es übrigens auch:

.

Man kann also die Vermutung aussprechen, dass die Behauptung für alle ungeraden gilt. Vielleich lässt sich induktiv was machen:

Basierend auf der Existenz eines Polynoms mit irgendein Polynom mit zurechtbasteln?


P.S.: Es wäre ein Gebot der Fairness, auch im Matheraum zu informieren, dass es hier diesen Matheboard-Thread zum selben Thema gibt.
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du hast recht, habe die Bedingungen nicht richtig gestellt.
Ich stelle die Bedinung n=6t+1 oder n=6t-1.

Es ist mir noch ein Fehler aufgefallen.
Wenn n=6t+1 dann ist die kleinste Potenz für p ist 2 und es sieht so aus:
[-n(n-1)/6]p²y^(n-4)

Dank für dein Interesse.
LG martinjosef49
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ganz pragmatisch: Setzen wir , so ist für ungerade nach Binomischen Satz

.

Für gerade , also ungerade , verschwindet der [...]-Ausdruck. Es verbleiben die geraden in der Summe:



Nun ist aber , wir erhalten demnach

.

Eine ungemütlich aussehende Darstellung, aber es ist zweifelsohne ein Polynom in und . Augenzwinkern



EDIT: Natürlich kann man aus dieser letzten Darstellung die Koeffizienten gewinnen, denn es folgt dann durch erneute Anwendung des Binomischen Satzes auf die Gleichung



Oder schlussendlich zusammengefasst:

mit .

Bleibt vielleicht noch der Wunsch, dieses zu vereinfachen, vielleicht ohne Summe - aber ich seh momentan nicht, wie das gehen könnte.
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »
gratuliere
Hallo,

gratuliere, du bist gut.
Meine Neugier liegt am Koeffizienten.
Habe habe eine Frage, schick dir ein PN.
Danke.
LG
opi Auf diesen Beitrag antworten »

@martinjosef49:
Bitte beachte unser Boardprinzip und stelle keine Fachfragen per PN. Wir wollen alle an dieser Diskussion teilhaben. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich auch so: Alle fachlichen Fragen bitte direkt hier im Board.
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hall 9000,

ich habe noch eine Frage zum Koeffizienten und seine Anwendung.
Bevor ich die Frage dir stelle, müßen wir uns einig im folgendem Satz sein.
Wenn n eine Primzahl ist , dann ist e= teilbar nur durch Primzahlen von Typ p=2qn+1. Ich kann das beweisen, würde aber den Rahmen sprengen, vielleicht ist es schon von einem anderen bewiesen. Bitte nimm das hin, oder gib mir eine Gegebeispiel. Nach der Regel ist , wenn n=6n+-1 teilbar durch eine Primzahl vom Typ 6qn+1.

freue mich auf deine Antwort
Gruß
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir ein Fehler unterlaufen meine /(x²+xy+y²)
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es ist mir noch ein Fehler unterlaufen, x,y und n sind ganze Zahlen.

LG martinjosef49
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martinjosef49
ich habe noch eine Frage zum Koeffizienten und seine Anwendung.

Ich sehe nicht so recht den Zusammenhang zur obigen Polynomdarstellung. vielleicht erläuterst du den Zusammenhang. Du solltest nicht erwarten, dass ich mühsam deine Gedankensprünge nachvollziehe, zumal ich kein Algebra- bzw. Zahlentheorie-Experte bin. Dort gehört der Thread übrigens auch hin, d.h. hier in der Stochastik hat der nichts zu suchen, und im Schulforum sowieso nicht. Augenzwinkern
martinjosef49 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so, dann fang ich an.

Ich habe mich mit dem Fermatsatz beschäftigt und bin an eine Grenze gestoßen.
Angenommen es gibt eine Lösung in ganzen Zahlen und n ist eine Primzahl.


dann wäre teilbar durch eine Primzahl p vom Typ 6qn+1.

Jetzt kommt das Polynom in das Spiel und die Potenz 6q+1



Jetzt komm dein definiertes Polynom zu greifen:

......=

Ende des Koeffizienten ist bei 6 und dann beginnt das Monom, habe es schlecht dargestellt.
mit p2 ist das kleinste Monom in deinem Polynom
wenn die Potenz 6qr+1 und r=p³

=

wenn r=p³ dannn ist die rechte Seite teilbar durch und die linke Seite durch
Wenn die Formel des Koeffizienten bekannt wäre, könnte auf einem bestimmten Rang ein Widerspruch entstehen.
Ich hoffe du hast mich verstanden, obwohl ich nicht alles richtig dargestellt habe.

Ich hoffe ihr habt eine Idee, sonst muß ich die Arbeit in diese Richtung aufgeben.

Gruß
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