Komplexe Division

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06.01.2014, 17:08	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Division Hallo Mathe-Freunde, ich habe eine Aufgabe gerechnet und möchte Feedback von Euch. Könnt ihr bitte mal nachschauen, ob ich Fehler gemacht habe, da ich diese Aufgabe vorzeigen muss. Aufgabe: Berechnen Sie a/b und geben Sie das Ergebnis sowohl in kartesischen wie auch in Polarkoordinaten an: a= 2-2i b= 4-2i Rechnung: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} = \frac{2-2i}{4-2i} = \frac{(2-2i)(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)} = \frac{8+4i-8i-4i^2}{16+8i-8i-4i^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{8+4i-8i+4}{16+4}=\frac{12-4i}{20} = \frac{12}{20} - \frac{4}{20} i = 0,6-0,2i \end{eqnarray}$ Umrechnung in die Polarform: Formeln: $\begin{eqnarray} z=r(cos \varphi+i\cdot sin \varphi) \ \ \ oder \ \ \ z=r \cdot e^{i \varphi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r=\| z \| = \sqrt{x^2+y^2} \ \ \ tan \varphi = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r=\| z \| = \sqrt{0,6^2+0,2^2} = \sqrt{0,36+0,04} = \sqrt{0,40} = 0,63 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} tan \varphi = \frac{0,2}{0,6} = 0,\overline{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi = arctan(0,\overline{3}) = 18,43 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=0,6-0,2i = 0,63 (cos18,43+i\cdot sin 18,43) = 0,63 \cdot e^{i18,43} \end{eqnarray}$ - Habe ich richtig gerechnet? - Habe ich laut Aufgabenstellung alles beachtet? Danke im Voraus für Eure Mühen
06.01.2014, 17:32	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Division Es ist alles richtig, nur der Winkel ist falsch. Du hast das Minuszeichen vergessen. Der Winkel beträgt also( -18,43°) = 341,57°
06.01.2014, 18:34	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ 18,43° oder 341,57°? Bin jetzt irritiert
06.01.2014, 20:17	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
-18,43° = 341,57° (ist das Gleiche) da 0.6 -0,2i im 4. Quadranten der Gaußschen Zahlenebene liegt ,glt: 360°- 18.43°= 341,57°
06.01.2014, 20:42	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass ich hier auch falsch gerechnet habe? $\begin{eqnarray} r=\|z\|=\sqrt{0,6^2+0,2^2}=\sqrt{0,36+0,04}=\sqrt{0,40}=0,63 \end{eqnarray}$ Wegen der -0,2 ? Also so? $\begin{eqnarray} r=\|z\|=\sqrt{0,6^2-0,2^2}=\sqrt{0,36-0,04}=\sqrt{0,32}=0,57 \end{eqnarray}$
06.01.2014, 20:53	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem habe ich in der Formelsammlung von Papula gesehen, dass wenn es im 4. Quadranten steht, +2pi gerechnet werden muss. Also: $\begin{eqnarray} tan \varphi=\frac{-0,2}{0,6}=-0,\overline{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi=arctan(-0,\overline{3})=-18,43° + 2\pi = -12,15 \end{eqnarray*}$
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06.01.2014, 20:55	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
0,63 stimmt. Es heißt doch Wurzel aus (Realteil)^2 +Imaginärteil ^2 Realteil ist: 0.6 Imaginärteil iist: -0,2 und (-0,2 )^2 = 0.04 ------------------------------------------------------------------------------- Außerdem habe ich in der Formelsammlung von Papula gesehen, dass wenn es im 4. Quadranten steht, +2*pi gerechnet werden muss.-------> Ja das stimmt und 2 PI = 360° , deshalb kommt 341.57° heraus.
06.01.2014, 21:36	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Letzte Frage: Wenn ich mit dem Taschenrechner (im RAD-Modus) $\begin{eqnarray} arctan(-0,\overline3) \end{eqnarray}$ und +2pi rechne erhalte ich: 5,9614 Wie rechne ich das jetzt in ° (Grad) um? Man schreibt ja $\begin{eqnarray} 0,63 \cdot e^{i \cdot 5,9614} \end{eqnarray}$ oder halt den Winkel $\begin{eqnarray} 0,63 \cdot e^{i \cdot ...°} \end{eqnarray*}$
06.01.2014, 21:47	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt allgemein: $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{180°}{\pi } arc \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} arc \alpha (Bogenmaß)=5.9614 \end{eqnarray}$ also gilt: $\begin{eqnarray} \alpha =\frac{180°}{3.14159} 5.9614 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =341.57° \end{eqnarray*}$
06.01.2014, 23:34	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde das mein Prof akzeptieren wenn ich als Endergebnis das so schreibe: $\begin{eqnarray} z=0,6-0,2i=0,63(cos5,9614+i\cdot sin5,9614)=0,63\cdot e^{i5,9614} \end{eqnarray}$
07.01.2014, 07:40	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf jeden Fall ist das Ergebnis richtig. Die Darstellung erfolgt mal in Bogenmaß mal in Grad. (von Uni zu Uni verschieden) Aber ist beides möglich. Nur weiß ich nicht , in welcher Schreibweise der Prof es bei Euch will.
07.01.2014, 19:51	matthias87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank für deine Hilfe.
07.01.2014, 19:52	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
gern doch

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