Rotationsflächen

06.01.2014, 18:35

Mathelehrer

Rotationsflächen

Meine Frage:
Hallo,

habe bei meiner Diffgeo-Übung mal wieder keinen Durchblick...
Ich bitte euch daher um Hilfe. Da mir jede vorraussetzng dafür fehlt, wäre ich sehr Dankbar, wenn mir jemand auch dei Frage erklären kann.

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} c: I \to \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ eine parametrisierte Kurve, deren Spur in der xz-Ebene liegt. Dreht man die Spur dieser Kurve um die z-Achse, so entsteht eine Rotationsfläche in [latex)\mathbb R ^{3} [/latex].
a) Geben Sie eine Parametrisierung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dieser Fläche an.
b) Bestimmen Sie die Fundamentalform von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an.
c) elche Bedingung muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ erfüllen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Immersion ist?
d) Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $\begin{eqnarray*} A(f) \end{eqnarray*}$ an.
e) Nach der ersten Guldinschen Regel ist $\begin{eqnarray*} A(f) \end{eqnarray*}$ das Produkt aus der Länge von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und dem Umfang des Kreises, den der Kurvenschwerpunkt von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bei Rotation beschreibt. Weisen Sie dies nach

Meine Ideen:
wie gesagt verstehe nichtmal die Frage...
Außer LA1 habe ich keine Vorkenntnisse. Ich bitte daher echt um Hilfe

06.01.2014, 23:17

Leopold

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Die Kurve $\begin{eqnarray*} c=c(u) \end{eqnarray*}$ ist einfach eine genügend oft differenzierbare Abbildung einer Variablen $\begin{eqnarray*} u \in I \end{eqnarray*}$ , die man in diesem Zusammenhang Parameter nennt. Wenn es einem nützt, darf man $\begin{eqnarray*} I = [0,1] \end{eqnarray*}$ annehmen. Da $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ abbildet, hat $\begin{eqnarray*} c(u) \end{eqnarray*}$ drei Koordinaten. Weil die Spur der Kurve ganz in der $\begin{eqnarray*} xz \end{eqnarray*}$ -Ebene liegt, ist die zweite Koordinate $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , die erste und dritte Koordinate bezeichne ich mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Man hat also

$\begin{eqnarray*} c = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} x=x(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=z(u) \end{eqnarray*}$ gewöhnliche reelle Funktionen, mit Angabe der Funktionsvariablen sieht das also so aus:

$\begin{eqnarray*} c(u) = \begin{pmatrix} x(u) \\ 0 \\ z(u) \end{pmatrix} \, , \ \ u \in I \end{eqnarray*}$

Jetzt denke dir solch ein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ fest. So bekommst du einen bestimmten Punkt der Kurve. Den lassen wir jetzt um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse rotieren. Dann bleibt die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate gleich, während die beiden anderen Koordinaten einer Rotation unterworfen werden. Das kann man mit der Rotationsmatrix

$\begin{eqnarray*} T = \begin{pmatrix} \cos(2 \pi v) & - \sin(2 \pi v) & 0 \\ \sin(2 \pi v) & \cos(2 \pi v) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \, , \ \ v \in J = [0,1] \end{eqnarray*}$

beschreiben. Den Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ habe ich angebracht, um für $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ zu haben. Natürlich kannst du ihn auch weglassen, dann brauchst du $\begin{eqnarray*} J = [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ . Die gesuchte Parameterdarstellung der Fläche ist also

$\begin{eqnarray*} f = f(u,v) = T \cdot c \, , \ \ (u,v) \in I \times J \end{eqnarray*}$

Wenn du das Matrizenprodukt ausrechnest, bekommst du die Darstellung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in den drei Koordinaten.

Ich überlege mir, ob über $\begin{eqnarray*} x(u) \end{eqnarray*}$ nicht noch sinnvolle Voraussetzungen zu machen sind, damit bei der Rotation keine Mehrdeutigkeit entsteht, etwa die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x(u) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

06.01.2014, 23:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von Leopold
Ich überlege mir, ob über $\begin{eqnarray*} x(u) \end{eqnarray*}$ nicht noch sinnvolle Voraussetzungen zu machen sind, damit bei der Rotation keine Mehrdeutigkeit entsteht, etwa die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x(u) \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Es ist sogar die echte Ungleichheit $\begin{eqnarray*} x(u)>0 \end{eqnarray*}$ nötig, damit tatsächlich eine Fläche entsteht. (wozu noch eine weitere Voraussetzung an $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ fehlt)

07.01.2014, 10:28

Mathelehrer

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ok.

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist hier der zweite Parameter der Fläche?

Die Parametrisierung ist demnach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(2\pi v)x(u) \\ \sin(2\pi v)x(u) \\ z(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lässt sich das noch irgendwie vereinfachen?

Für die Fundamentalform muss ich jetzt daraus $\begin{eqnarray*} g =\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmen
wobei $\begin{eqnarray*} g_{ij} = \langle \partial_if(u,v),\partial_jf(u,v) \rangle \end{eqnarray*}$
wobei einmal nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und einmal nach $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abgeleitet wird. (Steht so im skript) Nur wie leite ich jetzt hier nach u ab???
ich weis dass $\begin{eqnarray*} g_{12} = g_{21} \end{eqnarray*}$
Für die Fläche muss ich dann die Determinante dieser Matrix ermitteln.

07.01.2014, 13:37

Leopold

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@ Che Netzer

Es kommt wahrscheinlich darauf an, wie streng man mit seinen Forderungen an den Flächenbegriff ist. Wenn man will, daß die Fläche lokal wie der zweidimensionale euklidische Raum aussieht, muß man wohl $\begin{eqnarray*} x(t)>0 \end{eqnarray*}$ voraussetzen. So dürften es die Freunde der Mannigfaltigkeiten machen.
Aber man könnte ja einen etwas liberaleren Standpunkt einnehmen. Inwieweit würde es stören, wenn an isolierten Stellen $\begin{eqnarray*} x(u)=0 \end{eqnarray*}$ wäre? Oder könnte man sich nicht wenigstens darauf beschränken: $\begin{eqnarray*} x(u)>0 \end{eqnarray*}$ im Innern von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ? Sonst bekommt man die Kugel nicht durch Rotation eines Halbkreises.

Und welche weitere Voraussetzung an $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ meinst du? Geht es um die Vermeidung von Kreuzungspunkten, also die Injektivität von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ?

@ Mathelehrer

Die Frage verstehe ich nicht. Denn das geht so, wie man immer partiell differenziert. Man denkt sich die Variablen, nach denen nicht differenziert wird, als konstant.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial u} = \begin{pmatrix} \dot{x}(u) \cdot \cos(2 \pi v) \\ \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v} = \begin{pmatrix} -2 \pi \cdot x(u) \cdot \sin(2 \pi v) \\ \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ habe ich durch einen Punkt gekennzeichnet.
Denke bei den weiteren Rechnungen immer wieder an den trigonometrischen Pythagoras.

07.01.2014, 19:00

Che Netzer

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Zitat:

Original von Leopold
Aber man könnte ja einen etwas liberaleren Standpunkt einnehmen. Inwieweit würde es stören, wenn an isolierten Stellen $\begin{eqnarray*} x(u)=0 \end{eqnarray*}$ wäre?

Na gut, wenn man auch das noch unter einer Fläche versteht... (das dürfte dann aber eine viel zu allgemeine Definition ergeben)
Aber sobald diese Stellen Häufungspunkte haben oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sogar auf einem ganzen Intervall Null ist, wird es nochmals problematischer.

Zitat:

Oder könnte man sich nicht wenigstens darauf beschränken: $\begin{eqnarray*} x(u)>0 \end{eqnarray*}$ im Innern von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ? Sonst bekommt man die Kugel nicht durch Rotation eines Halbkreises.

Das kann man tatsächlich noch tun, muss dann aber aufpassen, dass die entstehende Fläche keine "Spitze" kriegt, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ also senkrecht auf die Achse trifft.

Zitat:

Und welche weitere Voraussetzung an $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ meinst du? Geht es um die Vermeidung von Kreuzungspunkten, also die Injektivität von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ?

Ja, und regulär sollte sie auch sein, damit keine Kanten entstehen.

Zumindest, wenn man möchte, dass überall eine (eindeutige) Tangentialebene existiert.

07.01.2014, 19:51

Leopold

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Das leuchtet alles ein. Jetzt wäre noch interessant, ob diese Voraussetzungen in Mathelehrers Aufgabe stehen und er sie uns verschwiegen hat oder ob sie fehlen. Und wenn sie fehlen und auch nicht nach ihnen gefragt wird, dann ist die Aufgabe nicht "wohlgestellt", welchen "Fachbegriff" ich andernorts gelernt habe.

07.01.2014, 19:58

Che Netzer

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Die Anführungsstriche würde gar nicht mal benutzen. Vor allem bei Differentialgleichungen spricht man von der Wohlgestelltheit eines AWPs (o.ä.), wenn dieses eindeutig lösbar ist – dann ist das Problem "Finde diejenige Funktion mit ..." wohlgestellt.

08.01.2014, 13:27

Mathelehrer

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sorry wegend er späten Antwort.

ich habe euch nichts vorenthalten. Die Aufgabe habe ich so wie sie auf meinem Blatt steht gepostet.
(Ist aber schon vorgekommen, dass sich vor und nach Abgabefrist die Aufgaben verändert haben...)

ich habe die Aleitung von x(u) verzweifelt gesucht, weil ich die Funktion ja nicht kenne. Daher x'(u) zu nehemn war wohl zu einfach...

Die fundamentalform ist also:
(sorry wenns etwas unübersichtlich wird)
hoffentlich alles richtig zusammengefasst und keine Tippfehler

$\begin{eqnarray*} g =\begin{pmatrix} (\cos(2\pi v)x'(u))^{2}+(\sin(2\pi v)x'(u))^{2}+z'(u)^2 & (-2\pi \cos(2\pi v)\sin(2\pi v)x'(u)x(u))+(2\pi \sin(2\pi v)\cos(2\pi v)x'(u)x(u))+z'(u)z(u) \\ (-2\pi \cos(2\pi v)\sin(2\pi v)x'(u)x(u))+(2\pi \sin(2\pi v)\cos(2\pi v)x'(u)x(u))+z'(u)z(u) & (4\pi^2 \sin(2\pi v)^2x(u)^2+4\pi ^2(\cos(2\pi v)^2x(u)^{2}+z(u)^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} g =\begin{pmatrix} (x'(u))^{2}+z'(u)^2 & z'(u)z(u) \\ z'(u)z(u) & (4\pi ^2x(u)^{2}+z(u)^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2014, 19:59

Leopold

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Was ich mit Che erörtert habe, solltest du nicht für eine überkandidelte akademische Diskussion halten. Mache dir an einer Zeichnung klar, worum es dabei geht. Und du solltest den Übungsleiter auf die Problematik ansprechen. Wenn in der Aufgabe mindestens gestanden hätte: "... so entsteht unter geeigneten Voraussetzungen eine Rotationsfläche ...", dann hätte man in einem späteren Aufgabenteil den Studenten bitten können, sich über passende Voraussetzungen Gedanken zu machen. Das wäre dann eine interessante Aufgabenstellung gewesen. So aber wird so getan, als sei das eine reine Rechenaufgabe.

Natürlich muß man auch rechnen können. Und da solltest du dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ noch einmal nachrechnen. Nur links oben habe ich dasselbe wie du.

08.01.2014, 20:36

Mathelehrer

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Es steht doch in der Aufgabenstellung, dass eine Rotationsfläche entsteht. Oder Verstehe ich was falsch?

eine Konstante ableiten ist halt sehr schwer Hammer

zu Sicherheit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial u} = \begin{pmatrix} x'(u) \cos(2 \pi v) \\ x'(u) \sin(2 \pi v) \\ z'(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial v} = \begin{pmatrix} -2 \pi \sin(2 \pi v) x(u) \\ 2 \pi \cos(2 \pi v) x(u) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

g ist dann:

$\begin{eqnarray*} g =\begin{pmatrix} x'(u)^{2}+z'(u)^2 & 0 \\ 0 & 4\pi ^2x(u)^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.01.2014, 21:32

Mathelehrer

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Oder geht es um die Vorraussetzungen für die Kurve?

Wäre das hier dann beispeislsweise die Antwort auf die Frage, warum CAD Programme aus Objekten (Geraden, Strecken, Bögen etc.) die eine Achse Schneiden aus diesen keine Rotationskörper/-flächen um die Achse erzeugen können?
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ könnte ich beispielsweise nicht um die x- bzw. y-achse rotieren lassen.
Wohl aber $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ in den Intervallen von $\begin{eqnarray*} (-\infty,0],[0,\infty ) \end{eqnarray*}$
Ersteres geht also letztlich nicht, weil das mathematisch nicht zu modellieren ist???

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