Distributionsableitung

06.01.2014, 19:07	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributionsableitung Hallo zusammen, Ich versuche die Distributionsableitung von $\begin{eqnarray} h(x)=\|1-x^2\| \end{eqnarray}$ zu berechnen. Sei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eine Testfunktion. Ich habe so begonnen: $\begin{eqnarray} -<h',\phi>=<h,\phi'>=\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\phi'(x)\, dx=\int_{\|x\|>1}(x^2-1)\phi'(x)\, dx+\int_{-1}^1(1-x^2)\phi'(x)\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(x^2-1)\phi(x)\|_{-\infty}^1-\int_{-\infty}^{-1} 2x\phi(x)\, dx+(x^2-1)\phi(x)\|_{1}^{\infty}-\int_{1}^{\infty} 2x\phi(x)\, dx+(1-x^2)\phi(x)\|_{-1}^1-\int_{-1}^1-2x\phi(x)\, dx \end{eqnarray}$ Meine Frage wäre, wie es von heiraus weitergeht. Gilt denn $\begin{eqnarray} \phi(\pm \infty)=0 \end{eqnarray}$ ? Dann würde ich einfach nochmal partiell integrieren. Ich würde mich über Hilfe freuen, Viele Grüße
06.01.2014, 19:24	TobiSemseg123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da es sich um eine Testfunktion handelt verschwindet diese im Unendlichen. Mithilfe der signum-Funktion könntest du die 3 Integrale wieder zusammenbauen, nochmals partiell zu integrieren bringt dich meiner Meinung nach nicht weiter. Die 3 Integrale zusammengefasst ergeben $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \int_{\mathbb{R}}{-2xsgn(1-x^{2})\phi(x)dx} \end{eqnarray}$ und die distributionelle Ableitung ergibt sich zu -2xsign(1-x^2).
06.01.2014, 19:48	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank für deine Hilfe, Verschwinden die Testfunktionen denn auch bei $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ ? Also verschwinden TF immer an den Rändern der kompakten (in diesem Fall) Intervalle, auf welchen meine Distribution diffbar ist? Viele Grüße

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