Umordnung von Reihen

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06.01.2014, 20:16	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Umordnung von Reihen Meine Frage: Ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)q^{n} = \left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^{k} \right)^{2} \end{eqnarray}$ ,wobei $\begin{eqnarray} q\in \mathbb R , \| q \| \leq 1 \end{eqnarray}$ . Ich komme allerdings nicht so recht weiter... Meine Ideen: Die einzigen Sachen dir mir dazu einfallen sind, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty q^{n} \end{eqnarray}$ ja die geometrische Reihe darstellt und, dass das ganze vermutlich durch Umordnung der Reihen zu lösen sein müsste. Oder liege ich hier komplett falsch?
06.01.2014, 21:00	Derive13	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg dir mal 2 Sachen: 1) $\begin{eqnarray} (n+1)q^{n} = (q^{n+1})' \end{eqnarray}$ 2) Unter welchen Umständen kann man gliedweise Differentiation (der einzelnen Summanden) gleich auf die ganze Summe anwenden?
06.01.2014, 21:18	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das ganze hat doch mit Ableitungen nichts zu tun oder?! Bzw. verwenden dürfte ich es auch nicht, da es in der Vorlesung noch nicht besprochen wurde...
06.01.2014, 21:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du das Cauchy-Produkt? Damit könntest du es auch lösen.
06.01.2014, 21:31	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hatten wir, aber verstanden bzw. anwenden kann ich es nicht wirklich
06.01.2014, 21:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n \end{eqnarray}$ so umzuschreiben, dass du eine Doppelsumme erhältst und du die Formel für das Cauchy-Produkt anwenden kannst. Lege deinen Augenmerk dabei auf das (n+1). Kannst du das auch anders als Summe schreiben? Wie lautet denn erst einmal die Formel für das Cauchy-Produkt?
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06.01.2014, 21:56	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel für das Couchy-Produkt lautet doch $\begin{eqnarray} \sum\limits_{l=0}^\infty b_{l} = \sum\limits_{1=0}^\infty \lambda_{i} \sum\limits_{j=0}^\infty a_{j} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{1=0}^\infty \lambda_{i} und \sum\limits_{j=0}^\infty a_{j} \end{eqnarray}$ absolut konvergent sein müssen? $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n = \sum\limits_{n=0}^\infty nq^{n} + q^{n} \end{eqnarray*}$ oder was meinst du?
06.01.2014, 22:13	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot \sum_{n=0}^\infty b_n \end{eqnarray}$ Nein, so meinte ich das das eigentlich nicht. Du kannst dich eigentlich hier recht gut an der Formel orientieren um weiter zu kommen. Dazu benötigst du ja erst einmal eine Doppelsumme. Wir wollen also erreichen, dass wir $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (n+1)q^n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\dotso \end{eqnarray}$ erhalten. Versuche dazu (n+1) als Summe zu schreiben.
06.01.2014, 22:29	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid aber jetzt steh ich komplett auf dem schlauch
06.01.2014, 22:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sieh dir erst einmal nur die (n+1) an. Um dies als Summe zu schreiben kannst du eigentlich nun die Indizes direkt aus der Formel übernehmen. Wir haben also auf jeden Fall eine Summe von 0 bis n. Wie oft wird der Ausdruck in dieser Summe also aufsummiert? Was könnte also aufsummiert werden, damit wir (n+1) erhalten?
06.01.2014, 22:38	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
der Ausdruck der Summr wird doch n-mal aufsummiert?
06.01.2014, 22:40	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wenn wir zum Beispiel eine Summe haben die von Null bis 3 läuft, wie oft wird dann aufsummiert?
06.01.2014, 22:47	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^3 a_{n} = 0+1+2+3 \end{eqnarray}$ oder bin ich da jetzt total falsch?!
06.01.2014, 22:50	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Für dieses Beispiel wäre richtig gewesen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^3 a_k=a_0+a_1+a_2+a_3 \end{eqnarray}$ Aber mit dieser Erkenntnis kannst du deine Antwort von oben nun wohl selber korrigieren. Denn haben wir hier drei mal (also n mal) aufsummiert?
06.01.2014, 22:53	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich!Für den Startindex k=0 wird n+1 mal summiert
06.01.2014, 22:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wir wissen also, dass wir (n+1)-mal aufsummieren müssen um (n+1) zu erhalten. Und wie können wir (n+1) nun als Summe darstellen? $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n\dotso=n+1 \end{eqnarray}$
06.01.2014, 23:15	maxi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir wirklich Leid, aber ich steh jetzt komplett auf dem Schlauch -.-
06.01.2014, 23:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das glaube ich dir nicht. Immerhin haben wir bisher eigentlich noch gar nichts gemacht, und wie man nun n+1 als Summe darstellen kann, das sollte nicht das Problem sein. Du musst ja eigentlich nur nennen was in der Summe steht. Und dies sollte schon fast klar sein. Ansonsten überlege einfach noch ein weniger länger, oder schlafe die Nacht drüber. Ich gehe nun nämlich auch ins Bett.

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