Linearer Span und Basis

06.01.2014, 22:38	linearerZwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearer Span und Basis Hallo, Ich verstehe den linearen Span und die Basis nicht so ganz, und ich habe auch allgemein ein paar Fragen. 1. Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum mit $\begin{eqnarray} V = \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{1},v_{2},v_{3} \in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ mit v1=(1,2,3) , v2=(2,4,6), v3=(4,8,12) Jetzt typische Fragestellung. Bilden v1,v2,v3 ein Erzeugendensystem der R^3? Dann wäre meine überlegung jetzt, da ein Erzeugendensystem ja nicht linear unabhängig sein muss, bilden die Vektoren v1,v2,v3 ein Erzeugendensystem des R^3. Finde den linearen Span der Vektoren: Der Span ist dann einfach span<v1,v2,v3>=(av1+bv2+cv3) Da der Span ja auch nicht linear unabhängig sein muss. Wenn ich jetzt eine Basis des Spans angeben müsste, dann wäre das einfach nur z.B. v1 oder? Weil die anderen beiden durch v1 hervorgehen. Also sind v2 und v3 im Bildbereich des Untervektorraums von v1 (wenn es jetzt eine zugehörige Abbildung von R nach R^3 gäbe). Wenn v1 die Basis wäre, wäre dann av1 die Basis(also linear kombinationen davon), oder einfach nur v1 ? Geben Sie eine Basis der Vektoren v1,v2,v3 an. Dann wäre das z.B. v1 oder v2 oder v3(jeweils einzeln) oder? Ist das alles so richtig?? Gruß
06.01.2014, 22:47	linearer Zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach und noch kurz, ich hab ja gesagt das v1,v2,v3 der Span der Vektoren sind. Linearer Span ist ja so definiert das er der kleinste Untervektorraum ist der die Menge enthält, das heisst v1,v2,v3 und noch ein beliebiges Vektor v4(in R^3) wäre dann kein Span mehr, weil er nicht der kleinste Untervektorraum ist oder? Der Span enthält zwar R^3 ist aber nicht minimal. Ist das auch so richtig?
06.01.2014, 22:50	linearer Zwerg	Auf diesen Beitrag antworten »
Halt moment, ich hab das auf das erzeugenden System bezogen nicht auf den linearen Span, der könnte ja dann beliebig sein oder? Gruß
06.01.2014, 23:04	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner ersten Frage: die drei Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1},v_{2},v_{3} \end{eqnarray}$ sind kein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ . Wie ist denn das Erzeugendensystem definiert? Zu deiner Zweiten Frage: eine Basis des Spans ist $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ . Aber der Span enthält nicht den $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ . Ansonsten wirken Deine Aussagen, als hättest du wichtige Begriffe nicht verstanden. (Deshalb meine Frage oben)

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