Stetigkeit einer Funktion

06.01.2014, 23:34

fre4k

Stetigkeit einer Funktion

Hallo

ich sitze vor folgender Aufgabenstellung und hoffe, dass Ihr mir helfen könnt.

Man soll die folgende Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit überprüfen und die erste Ableitung ebenfalls auf Stetigkeit überprüfen.

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x) = x^2*sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

So da $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , und der sin stetige Funktionen sind ist f(x) für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ stetig.

Jetzt untersuche ich den Punkt x=0 mit rechts und linksseitigen Limes.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x^2*sin(\frac{1}{x})=0 \end{eqnarray*}$

Kann es sein, dass der linksseitige und rechtsseitige Limes hier das gleiche ist, weil es das selbe f(x) links und rechts von x=0 ist ?

Da es in dem Punkt ebenfalls 0 ist würde ich sagen, dass die Stetigkeit gegeben ist.

Differenzierbarkeit

Da bin ich mir jetzt nicht sicher wie ich das beweisen muss.

Ich würde die Steigung von beiden Funtionen also der 0 in x=0 und von $\begin{eqnarray*} x^2*sin(\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ im Punkt x=0 untersuchen und wenn beide Steigungen gleich sind (in dem Fall 0) dann ist die Funktion differenzierbar.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x*sin\frac{1}{x}-x^2*cos(\frac{1}{x})*\frac{1}{x^2}= 2x*sin\frac{1}{x}-cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0)=-cos(\frac{1}{0}) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich eine Division durch 0 , was mach ich jetzt ?

Die 1. Ableitung auf Stetigkeit überprüfen

Mittels Limes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}( 2x*sin\frac{1}{x}-cos(\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$

Hier hab ich aber wieder das selbe Problem, dass ich nicht weiß was ich mit dem cos(1/0) machen soll ?

lg

07.01.2014, 00:05

MatheIstLustig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit einer Funktion
Zur Differenzierbarkeit an der Stelle 0 kannst du den Differentenquotient ausrechnen. Nach meiner Erinnerung geht das relativ gut zu rechnen.
Um zu zeigen, dass die erste Ableitung an der Stelle 0 nicht stetig ist, solltest du zwei konvergente Teilfolgen suchen, die unterschiedlichen Grenzwert haben.
Die Funktion f ist ein Standardbeispiel für eine an der Stelle 0 differenzierbare aber nicht stetig differenzierbare Funktion.

07.01.2014, 01:16

QWR2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht sicher, ob für die Stetigkeit von f(x) ausreicht zu sagen, dass

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , und der sin stetige Funktionen sind

07.01.2014, 11:00

MatheIstLustig

Auf diesen Beitrag antworten »

@QWR2: Das reicht aus, weil das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig ist. Das ist ein Satz aus der Analysis und sollte in der Vorlesung bewiesen worden sein.

@fre4k: Bei der Stetigkeit hast du mit deiner Aussage zur Stelle 0 recht. Wie ausführlich du die Berechnung von rechtsseiltigen und linksseitigen Grenzwert aufschreiben musst, solltest du wissen/erfragen.

Zitat:

Kann es sein, dass der linksseitige und rechtsseitige Limes hier das gleiche ist, weil es das selbe f(x) links und rechts von x=0 ist ?

Nein, hier ein Gegenbeispiel: Betrachte: $\begin{eqnarray*} g(x)=x \cdot| \frac{1}{x} | \end{eqnarray*}$ . Hier hast du auch rechts und links von der Null dasselbe g(x), rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert stimmen aber nicht überein.

08.01.2014, 20:03

fre4k

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MatheIstLustig
@QWR2: Das reicht aus, weil das Produkt stetiger Funktionen wieder stetig ist. Das ist ein Satz aus der Analysis und sollte in der Vorlesung bewiesen worden sein.

@fre4k: Bei der Stetigkeit hast du mit deiner Aussage zur Stelle 0 recht. Wie ausführlich du die Berechnung von rechtsseiltigen und linksseitigen Grenzwert aufschreiben musst, solltest du wissen/erfragen.

Zitat:

Kann es sein, dass der linksseitige und rechtsseitige Limes hier das gleiche ist, weil es das selbe f(x) links und rechts von x=0 ist ?

danke für die Antwort. Ich hab mit die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=x \cdot| \frac{1}{x} | \end{eqnarray*}$ plotten lassen und angesehen.

Aber wie geh ich beim linksseitigen Limes gegen 0 oder einen bestimmten Punkt wie zB. x=3 vor ?
setz ich einfach im Kopf bei einem linksseitigen Limes gegen 0 ; dann einfach -3, -2, -1 und überlege mir gegen welchen Wert es geht oder geht man da anders vor ?

und ich wollte nochmal auf die zwei Divisionen durch 0 zurückkommen von meinem letzten Post.

lg

12.01.2014, 21:03

MatheIstLustig

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte zunächst einmal, dass ich erst heute antworte:

Zitat:

Aber wie geh ich beim linksseitigen Limes gegen 0 oder einen bestimmten Punkt wie zB. x=3 vor ? setz ich einfach im Kopf bei einem linksseitigen Limes gegen 0 ; dann einfach -3, -2, -1 und überlege mir gegen welchen Wert es geht oder geht man da anders vor ?

genau so! Du solltest allerdings Folgen wie. z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=-cos(\frac{1}{0}) \end{eqnarray*}$

Die erste Division durch Null kannst du mit meinem ersten Hinweis vermeiden. Bilde für die Stelle x=0 den Differenzenquotient $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \end{eqnarray*}$ für x-Werte größer Null.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}( 2x*sin\frac{1}{x}-cos(\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$

Dieser Grenzwert existiert nicht. Du solltest dies zeigen, indem du zwei Ffolgen wählst, die unterschiedliche Grenzwerte haben. Orientiere dich dabei an $\begin{eqnarray*} cos(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ Für welche x-Werte wird diser Kosinus 1, für welche x-Werte wird dieser Kosinus -1?

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit einer Funktion

Verwandte Themen