schwache konvergenz auf L^1 mit kompaktem intervall

07.01.2014, 10:26	Ana-Lala	Auf diesen Beitrag antworten »
schwache konvergenz auf L^1 mit kompaktem intervall Meine Frage: Hallo. Ich möchte zeigen, dass auf dem Banachraum L^1([0,1]) alle schwach konvergente Folgen zugleich stark konvergent sind. Meine Ideen: Ich nehme o.B.d.a an, dass die schwachkonvergente Folge gegen 0 schwach konvergiert. $\begin{eqnarray} f \in L^1, g \in L^{\infty}: \quad lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^1f_ngdt = \int_0^1fgdt= 0 \quad \forall g \in L^{\infty} \end{eqnarray}$ also ist der schwache Grenzwert f=0. Aber wegen der Beschränktheit der Intervalls bedeutet das auch $\begin{eqnarray} lim_{n\rightarrow \infty}f_n=0 \end{eqnarray}$ Und damit ist in diesem Raum schwache Konvergenz gleich starker Konvergenz
07.01.2014, 14:23	dingon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache konvergenz auf L^1 mit kompaktem intervall Hallo, versuch mal $\begin{eqnarray} g=\frac{\overline{f}}{\|f\|} \end{eqnarray}$ LaTeX-Tag repariert. Steffen
07.01.2014, 19:17	Ana-Lala	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache konvergenz auf L^1 mit kompaktem intervall würde ich nicht tun wenn f gleich 0 ist
09.01.2014, 10:43	dingon	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache konvergenz auf L^1 mit kompaktem intervall schon klar... aber setz einfach g = 0 an den nullstellen von f. dann geht´s

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