Verständnisproblem beim affinen Unterraum

07.01.2014, 14:51	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem beim affinen Unterraum Moin, ich versuche aktuell unsere Definition eines affinen Unterraums und die Anschauung, die ich durch Wikipedia erhalten habe unter einen Hut zu bringen. Das gelingt mir leider nicht. Hier zuerst mal die Wikipediaseite: http://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Unterraum Ich habe allerdings gerade das Gefühl, dass ich mit den Begrifflichkeiten durcheinander komme. Gibt es einen Unterschied zwischen einem affinen Unterraum eines Vektorraums und dem affinen Unterraum eines affinen Raumes? Auf der Wikipediaseite geht es um den affinen Unterraum eines Vektorraums. Bei uns geht es um einen affinen Unterraums eines affinen Raums. Falls da ein Unterschied besteht, wäre ich dankbar, wenn ihr das bestätigt. Ich bin gerade endgültig verwirrt . Wenn da nämlich ein Unterschied besteht, habe ich die letzte halbe Stunde versucht, etwas zu vereinen, was gar nicht vereinbart werden möchte. In diesem Fall würde ich dann meine Anschauung noch mal komplett auf Null setzen und neu starten. Gruß Martin
07.01.2014, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein "affiner Raum" ist ein "Punktraum" mit zugehörigem Vektorraum. Ein affiner Raum hat affine Unterräume. Ein "affiner Unterraum eines Vektorraums" ist ein spezieller affiner Raum, seine Punkte sind Vektoren. Wiki sagt : Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie. Beide Definitionen sind in Wikipedia zu finden.
07.01.2014, 19:09	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh, dann komme ich nun zu meinem Verständnisproblem. Unsere Definition: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein affiner Raum mit zugehörigem Vektorraum $\begin{eqnarray} V_X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \subseteq X \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} Y = \emptyset \end{eqnarray}$ oder ist $\begin{eqnarray} U := \phi_A(Y) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ -Unterraum von $\begin{eqnarray} V_X \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} A \in Y \end{eqnarray}$ , so heißt $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ affiner Unterraum von X mit zugrundeliegendem Vektorraum $\begin{eqnarray} V_Y = U \end{eqnarray}$ Ich versuche das mal so aufzudröseln, wie ich es verstehe, vielleicht hilft mir das ja schon. Also X ist der affine Raum mit vielen Punkten. Den zugehörigen Vektorraum stelle ich mir jetzt mal als Raum mit den Verbindungsvektoren zwischen allen möglichen Punkten in X vor. Um jetzt einen affinen Unterraum zu konstruieren, brauche ich also eine Teilmenge Y von X, so dass der Raum der Verbindungsvektoren von einem Punkt A aus Y zu allen Punkten in Y ein K-Unterraum des zu X gehörigen Vektorraums ist. Also ein Untervektorraum. Wenn das so ist, dann ist Y ein affiner Unterraum von X. Ich probiere mal ein Beispiel. Ich nehme mal den affinen Raum $\begin{eqnarray} X = R^3 \end{eqnarray}$ . Jetzt nehme ich mir eine Teilmenge $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Ich hätte da gerne die um 1 nach oben verschobene X-Achse. Also $\begin{eqnarray} Y = \{y \in R^3 \| y = (a, 1, 0) \ und \ a \in R) \end{eqnarray}$ . Dann erhalte ich, da A ja in der Teilmenge liegen muss als Unterrvektorraum gefüllt mit Verbindungsvektoren von A zu allen Punkten in Y die X Achse. Das ist ein Untervektorraum. Also wäre Y in diesem Fall ein affiner Unterraum. Ist das soweit richtig? KEIN affiner Unterraum wäre dann ja zum Beispiel eine Gerade mit ner Lücke in der Mitte. Wenn ich dann nämlich die Verbindungsvektoren betrachte, ist der Raum von Verbindungsvektoren ja nicht abgeschlossen bzgl. +, wäre also kein UVR und somit wäre die Gerade mit der Lücke kein affiner Unterraum. Ist das soweit alles richtig? Ansonsten bitte ich um Korrektur. Ich hoffe, dass ich mich verständlich ausdrücken konnte. Gruß Martin
07.01.2014, 19:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ungefähr ist das. Genau richtig ist immer nur das, was die Definitionen sagen, aber ich finde in deiner Darstellung keine wesentlichen Mängel. (Warum du die Vektoren nun Verbindungsvektoren nennst, ist mir unklar; heißen die so ? Ja, ich habe nachgelesen, die heißen so.)
07.01.2014, 19:34	MartinL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Dinger Verbindungsvektoren genannt, weil wir bei der Abbildung Phi eigentlich immer die Abbildung betrachten, welche die zwei Punkte A und B einfach auf die Differenz B-A abbildet. Dadurch erhält man ja sozusagen den Verbindungsvektor, welcher von A ausgehend auf B zeigt. Mir ist klar, dass die Abbildung Phi eigentlich auch was ganz anderes sein kann, solange die Eigenschaften aus der Definition erfüllt sind. Trotzdem denke ich immer zuerst mit dieser speziellen Abbildung und da kommen für mich halt Verbindungsvektoren (ich weiß nicht, ob wir die in der Vorlesung auch so genannt haben) heraus. Gruß Martin

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