Exponentialfunktionen

07.01.2014, 16:08

19raffi72

Exponentialfunktionen

Meine Frage:
Habe folgende zwei Aufgaben zu lösen. Vor allem Aufgabe 437 bereitet mir große Schwieriegkeiten!

Vorab Danke für die Antworten

Meine Ideen:
Leider noch nicht viele Augenzwinkern

07.01.2014, 16:27

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Hallo,

ich kann leider die Ausgangsgleichung nur schwer entziffern. Wenn ich die Graphik vergrößere, wird's bei mir leider verschwommen.

Steht da vielleicht:

$\begin{eqnarray*} y=y_0 \cdot e^{- \alpha t} \cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Bitte bestätigen oder korrigieren, falls ich mich verlesen habe.

07.01.2014, 17:27

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Nein, anstatt alpha ist das Formelzeichen der Dämpfungskonstante(rechts unter der Abbildung ersichtlich). Sonst stimmts.

07.01.2014, 17:43

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
ja, und ausgerechnet das Zeichen für die Dämpfungskonstante kann ich nicht gut lesen. Naja, ist ja auch egal, ist ja nur ein Buchstabe.

Übrigens ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Steffen (schon wieder weg)

Ich nehme an, die Konstante ist immer größer als Null.

Dann versuchen wir mal, den Teil a der Aufgabe zu lösen.
Zwischen welchen beiden Extremwerten schwankt denn die Funktion

$\begin{eqnarray*} \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

immer hin und her?
Wichtig: Betrachte nur diesen Sinus-Teil der kompletten Formel.

07.01.2014, 18:05

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Sie steigt und fällt immer so hoch, bis sie auf die Einhüllende-funktion stößt. Oder?
Sorry wenn das jetzt eine blöde Antwort ist, aber mir fehlt echt der Durchblick bei dieser Aufgabe smile

bin schon fast am verzweifeln

07.01.2014, 18:16

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Jaja, schon, sie schwingt immer zur Einhüllenden. Aber warum, das wollen wir ja gerade klären.

Ich frag dann mal so: zwischen welchen beiden Werten schwankt denn die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

hin und her?
(Laß den Exponentialanteil Deiner Dämpfungsfunktion einfach ganz außer acht, es geht wirklich nur um die ganz normale Sinusfunktion)

@Steffen: Danke schön, konnt's wirklich nicht lesen (ich glaub, ich hab was an den Augen)

07.01.2014, 18:20

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Sie schwingt zwischen +1 und -1

07.01.2014, 18:31

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Ganz genau!

So, jetzt bist Du der Sache schon gut auf der Spur. Die Beträge des Sinus sind also immer kleiner oder höchstens gleich 1.

Wenn Du einen Wert, der <=1 ist, mit einer positiven Zahl Z multiplizierst, kann dann das Ergebnis dieser Rechnung größer als Z werden?

07.01.2014, 19:07

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Nein.

07.01.2014, 19:14

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
So ist es.

Jetzt nehmen wir die Werte des Sinus mit der Dämpfungsfunktion mal. Auch hier müssen die Ergebnisse kleiner (oder höchstens gleich) der Dämpfung sein. Und deshalb ....

nun, jetzt wieder Du

07.01.2014, 19:17

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
wird der Sinus nur deshalb kleiner, weil auch die Dämpfung kleiner wird?
oder zumindest das Ergenbis wird kleiner, während der Sinus-Betrag gleich bleibt (?)

07.01.2014, 19:28

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
naja, so ähnlich.

Ich glaube, Du meinst das Richtige. Der Sinus selbst bleibt der gute alte Sinus (der ist ja betragsmäßig immer <=1). Und deshalb ist das Produkt aus Sinus und Dämpfung immer <= der Dämpfungfunktion.
Mit anderen Worten: Das Produkt aus beidem (Sinus und Dämpfung) schwingt immer höchstens bis zur Dämpfungsfunsfunktion rauf und runter.

Eine Frage: hast Du einen Funktionsplotter zur Hand?

07.01.2014, 19:29

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
ja GeoGebra, wenn das reicht

07.01.2014, 19:43

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
ja klar reicht das, ist ein ausgezeichnetes Programm (benutz ich selbst, kann ich nur weiterempfehlen).

Dann probier doch die folgenden Funktion einmal aus:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=0.01x^2 \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(x)=3 \cdot e^{-0.1x} \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Fällt Dir etwas auf?

07.01.2014, 19:52

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Die ersten beiden Funktionen verlaufen y-Achse symetrisch und deshalb wird sowohl für x positiv und negativ gegen unendlich der Auschlag immer größer.
Die dritte wird läuft bei x > negativ gegen unendlich (schlägt weiter aus) und bei x > positiv immer eher Richtung Null (der Auschschlag wird geringer). Wenn ich nicht total falsch liege ist das auf e zurückzuführen oder, und durch das Minus vor dem x dreht sich die Wirkung um.

07.01.2014, 20:15

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Sooo kompliziert hab ich das jetzt garnicht gemeint:
Mach mal folgendes:
Laß Geogebra die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ zeichnen und dazu die Funktion

$\begin{eqnarray*} g_1(x)=x \end{eqnarray*}$

beide in einem Bild.

Dann (neues Bild) $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(x)=0.01x^2 \end{eqnarray*}$

(wieder in einem Bild).

Zum Schluß noch (wieder neues Bild) $\begin{eqnarray*} f_3(x) \end{eqnarray*}$ zusammen mit

$\begin{eqnarray*} g_3(x)=3 \cdot e^{-0.01x} \end{eqnarray*}$

07.01.2014, 20:21

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Ah ok, jetzt hab ich dich glaube ich verstanden. Du wolltest mir demonstrieren welchen Efekt der Sinus der ganzen Funktion gibt.
Oder liege ich schon wieder falsch? Big Laugh

07.01.2014, 20:26

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Ja, das wollte ich Dir zeigen. Die g-Funktionen sind immer die Einhüllenden der Sinus-Funktionen.

Und das ist kein Zufall. Die g's sind ja immer die Funktionen, die mit dem Sinus malgenommen werden. Genau wie in Deiner Physikaufgabe. Die g's sind so etwas wie "Dämpfungsfunktionen".

07.01.2014, 20:27

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Ok danke, aber wie halte ich das schriftlich fest?
Wie beweise ich das?

07.01.2014, 20:41

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Für wen sollst Du das denn begründen.
Für die Hochschule (dann wird's jetzt schwierig) oder für einen Physikoberstufenkurs (dann kannst Du mit den Eigenschaften der Sinusfunktion argumentieren)?

07.01.2014, 20:46

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Also die Aufgaben sind aus einem Mathematik Buch für die Oberstufe. Besuche die 4. also vorletzte Schultstufe vor dem Abschluss in Italien. Also in Deutschland könnte ich nach diesem Schuljahr bereits zur Uni.

07.01.2014, 21:33

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Die Aufgabe 438 habe ich mittlerweile komplett durchgerechnet. Bei der Nummer 437 siehts leider nicht so gut aus. Habe jetzt zwar Aufgabe a) verstanden, kann es aber nicht so wirklich schriftlich festhalten. Die restlichen Unteraufgaben stellen mich immer noch vor große Schwierigkeiten.

Danke für alle kommenden Antworten smile

07.01.2014, 21:40

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Dann begründest Du so, daß der Sinus immer zwischen -1 und 1 liegt, daß das Produkt von Sinus und Dämpfungsfunktion also immer kleiner als die Dämpfungsfunktion alleine ist, oder höchstens genausogroß. Der Sinus kann also nie über die Dämpfung hinausschwingen.

07.01.2014, 21:44

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
Bis wann mußt Du denn die Aufgabe 437 bearbeitet haben? Können wir morgen weitermachen, ich muß nämlich gerade noch Nachhilfeunterricht bei mir zuhause geben?

07.01.2014, 21:54

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
Ja geht in Ordnung. Muss sie bis Freitag Vormittag komplett durchgerechnet abgegeben haben. Wenn ich /wir's schaffen hätte ich sie gerne Morgen durchgerechnet. Aber bloß keinen Stress, wenn ich mal einen Ansatz finde komme ich sicher auch alleine nen guten Rutsch weiter. Bin morgen allerdings den ganzen Vormittag in der Schule. Aber wie gesagt, will dir keine Umstände bereiten.

07.01.2014, 22:12

Count von Count

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RE: Exponentialfunktionen
ok.

Ich hab allerdings morgen nachmittag zu tun. Wir könnten ab ca. 20.00 weitermachen. Dann hab ich auch den ganzen Abend Zeit.

Hoffentlich ist das recht. Ansonsten fragen wir einen anderen Kollegen um Rat.

07.01.2014, 22:16

19raffi72

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RE: Exponentialfunktionen
20 Uhr ist spät. Wenns möglich wäre, würde ich schon lieber nachmittags weiter machen. Wäre dir sehr dankbar wenn du jemand fragen könntest. Auf jeden fall ein großes Dankeschön für deine Hilfe .

08.01.2014, 06:21

Egal

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Ich geb dir mal einfach ein paar Tipps zum arbeiten vielleicht hilft dir das schon:

a) Stell eine Differenzfunktion aus einhüllender und eigentlicher Funktion auf. Dann kannst du $\begin{eqnarray*} y_0e^{-\delta t} \end{eqnarray*}$ ausklammern und dann für beide Teile getrennt argumentieren, warum die Differenz stets positiv, bzw. negativ ist und welche Bedeutung das für die beiden Funktionen hat.

b) Da muss "Nullprodukt" als Stichwort eigentlich reichen.

c) Schnittpunktberechnung geht an und für sich immer gleich, das ist hier nicht anders und sobald man angefangen hat kann man eine Menge unangenehme Dinge einfach rauskürzen, weil sie ohnehin nicht Null werden können. Für den 2. Teil der Frage kann man wahlweise auf a) Bezug nehmen oder über die Ableitung der eigentlichen Funktion und der Einhüllenden in diesem Punkt argumentieren. Eine Rechnung ist hier wohl nicht verlangt.

d) Die Frage ist leicht für die Begründung einfach mal nachdenken wie Nullstellen und Extremstellen zustande kommen. Gemeint ist dabei für welche Werte von t man auf Nullstellen kommt, bzw welcher Teil der Funktion dafür verantwortlich ist, dass es welche gibt.

So damit müsstest du mal einen Moment hinkommen.

08.01.2014, 14:57

19raffi72

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Ok danke.
Zur b) da muss die eigentliche Funktion (also $\begin{eqnarray*} y=y_0 \cdot e^{- \delta t} \cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ ) Null ergeben. Oder?
Und die kann doch nur Null sein, wenn entweder die Anfansgsschwing y_o Null ist oder $\begin{eqnarray*} sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ Null ergibt. Weil das e kann ja nicht Null ergeben. Hat das dann zur Folge, dass der sinus von $\begin{eqnarray*} sin(\omega) \end{eqnarray*}$ Null sein muss?

08.01.2014, 17:58

19raffi72

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Ich verstehe nicht ganz wie ich die Anfangsformel ableiten soll. Also ich weiß wie man ableitet, aber halt nur mit x. Was ist hier meine Unbekannte und was alles sind Konstanten, die ich vernachlässigen kann?

08.01.2014, 19:41

Egal

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t ist die Variable alles andere sind Konstanten.

08.01.2014, 19:44

19raffi72

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Ok.

Liege ich mit dem falsch?
Zur b) da muss die eigentliche Funktion (also $\begin{eqnarray*} y=y_0 \cdot e^{- \delta t} \cdot \sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ ) Null ergeben. Oder?
Und die kann doch nur Null sein, wenn entweder die Anfansgsschwing y_o Null ist oder $\begin{eqnarray*} sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ Null ergibt. Weil das e kann ja nicht Null ergeben. Hat das dann zur Folge, dass der sinus von $\begin{eqnarray*} sin(\omega) \end{eqnarray*}$ Null sein muss?

08.01.2014, 20:15

Egal

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Das in der Mitte ist richtig. Unten fehlt dir dann das t im Sinus. Ansonsten passt die Argumentation aber.

08.01.2014, 21:07

19raffi72

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c) Ist es falsch hier den ganzen e -Block zu streichen? Der kann ja nicht Null weden. Kann ich das y_0 auch kürzen? $\begin{eqnarray*} y=y_0 \cdot e^{- \delta t} \cdot \sin(\omega t) = y_0 \cdot e^{- \delta t} \end{eqnarray*}$
Dann würde stehen bleiben $\begin{eqnarray*} sin(\omega t) =1 \end{eqnarray*}$ . Wäre das als Antwort akzeptabel oder habe ich einen groben Denkfehler gemacht?

d) Ist das wieder eine Anspielung das der Sinus Null ergeben muss?

08.01.2014, 21:10

19raffi72

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Zitat:

Original von 19raffi72
c) Ist es falsch hier den ganzen e -Block zu streichen? Der kann ja nicht Null weden. Kann ich das y_0 auch kürzen? $\begin{eqnarray*} y=y_0 \cdot e^{- \delta t} \cdot \sin(\omega t) = y_0 \cdot e^{- \delta t} \end{eqnarray*}$
Dann würde stehen bleiben $\begin{eqnarray*} sin(\omega t) =1 \end{eqnarray*}$ .(Oder auch -1 nach dem "=" anstatt +1) Wäre das als Antwort akzeptabel oder habe ich einen groben Denkfehler gemacht?

d) Ist das wieder eine Anspielung das der Sinus Null ergeben muss?

08.01.2014, 22:21

Egal

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Nein du musst hier schon zusätzlich noch die Ableitung betrachten und dann den entsprechenden Zusammenhang zwischen den jeweils auftauchenden trigonometrischen Funktionen beschreiben/benutzen.

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