Beweis Maximalstelle

07.01.2014, 19:14	math error	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Maximalstelle Meine Frage: Hallo, ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten: Es sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to- \infty } f(x) =\lim_{x \to \infty } f(x) =-\infty \end{eqnarray}$ . Zeige: f(x) hat mindestens eine Maximalstelle. Meine Ideen: Für mich klingt das einfach nur logisch und banal Die Funktion "kommt" von -unendlich und "geht" nach -unendlich und ist stetig. Dann muss ja unterwegs irgendwo eine Maximalstelle, der höchste Punkt, sein...? Ich würde nie im Leben auf die Idee gekommen, das zu bezweifeln ^^ Aber wie sieht dazu ein formaler Beweis aus? Muss ich den Zwischenwertsatz anwenden? Vielen Dank für eure Hilfe!
07.01.2014, 19:34	micha_L	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Maximalstelle Hallo, es nicht zu bezweifeln ist ja auch nicht das, was von dir erwartet wird. Du sollst es beweisen. Du sollst also eine Argumentationskette finden, die doch überzeugen würde, selbst wenn du dir noch so fest vorgenommen hättest, diese Aussage zu bezweifeln. Das verstehen viele Anfänger falsch. Es nur logisch zu finden hast du doch sicher in der Schule oft genug getan. Ich zitiere an dieser Stelle gern: Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (nach B. Russel) Insofern hat dieser erhöhte Anspruch bei Beweisen seine Berechtigung. Nun noch (endlich) zu der Aufgabe: Hast du einen indirekten Beweis erwogen? Mfg Michael
07.01.2014, 19:48	math error	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Genau das ist wohl jetzt noch mein Problem - das erscheint mir so logisch, dass ich erstmal keinen Beweisansatz finde. Daher danke für den Tipp mit indirekt. Also, versuchen wir uns mal: Nehmen wir an, die Funktion habe keine Maximalstelle. Dann ist f entweder monoton steigend oder monoton fallend. (Erste Folgerung noch korrekt? Erscheint sie mir jedenfalls.) Beschränken wir uns mal auf steigend: Es ist also $\begin{eqnarray} f(x)\leq f(y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x<y \end{eqnarray}$ . Dann kann der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } f(x) \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ sein, ein Wiederspruch zur Voraussetzung Hier hab ich aber wahrscheinlich schon zu schwammig argumentiert. Wie das genau gehen würde, wüsste ich auch nicht. Viele Grüße

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