Konvergenz einer komplexwertigen Folge

07.01.2014, 19:27

MatheErsti123

Konvergenz einer komplexwertigen Folge

Hallo,

ich sitze mal wieder an einer Folge bei der mir der richtige Ansatz fehlt.
Es geht um folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie die Folge zn auf Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} z_n=\left(\frac{i}{2} \right)^{in} \end{eqnarray*}$

Meine Vermutung ist, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da sie der Folge $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ ähnelt. Jedoch musste ich beim Versuch dies zu beweisen feststellen, dass $\begin{eqnarray*} |i|^{|i|} \end{eqnarray*}$ nicht 1 zu sein scheint, wobei ich da vielleicht auch einen Fehler gemacht haben könnte.

Ich wäre sehr dankbar für einen Ansatz wie ich am Besten an diese Folge rangehen sollte.

Gruß MatheErsti

08.01.2014, 08:23

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer komplexwertigen Folge
Ersetze i/2 durch seine Exponentialdarstellung. Dann läßt sich das i*n im Exponenten recht bequem verarbeiten. Augenzwinkern

08.01.2014, 08:29

MatheErsti123

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Ok, das werde ich mal ausprobieren. Vielen Dank!

09.01.2014, 00:06

MatheErsti123

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Hallo,

leider kenne ich mich mit der Exponentialdarstellung nicht aus. Ich habe jedoch nachgeschlagen, dass sich i auch als $\begin{eqnarray*} \cos(\frac{\pi }{2} ) +i*\sin(\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Wenn ich das nun in folgende Formeln einsetze :

$\begin{eqnarray*} \cos(z)=\frac{1}{2}*(e^{iz} +e^{-iz}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin(z)=\frac{1}{2i}*(e^{iz} -e^{-iz}) \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray*} i=\cos(\frac{\pi }{2} ) +i*\sin(\frac{\pi }{2} )=\frac{1}{2}*(e^{\frac{i\pi }{2} } +e^{-\frac{i\pi }{2} })+i*\frac{1}{2i}*(e^{\frac{i\pi }{2} } -e^{-\frac{i\pi }{2} })=e^{\frac{i\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

Dies habe ich nun in die Folge eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{i}{2} \right) ^{in}=\left(\frac{e^{\frac{i\pi}{2} } }{2} \right) ^{in}=\left(\frac{e}{2} \right) ^{-\frac{\pi n}{2} }=\left(\frac{1}{\left(\frac{e}{2} \right) ^{\frac{\pi n}{2} }} \right) \end{eqnarray*}$

Und dies konvergiert dann gegen 0.

Ist das so richtig oder habe ich das vollkommen falsch gemacht?

09.01.2014, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheErsti123
leider kenne ich mich mit der Exponentialdarstellung nicht aus.

Wirklich? Und du willst mit komplexen Zahlen rechnen? Dann wird es aber Zeit, sich damit zu beschäftigen. Als Einstieg: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

Zitat:

Original von MatheErsti123
Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray*} i=\cos(\frac{\pi }{2} ) +i*\sin(\frac{\pi }{2} )=\frac{1}{2}*(e^{\frac{i\pi }{2} } +e^{-\frac{i\pi }{2} })+i*\frac{1}{2i}*(e^{\frac{i\pi }{2} } -e^{-\frac{i\pi }{2} })=e^{\frac{i\pi }{2} } \end{eqnarray*}$

Das ist zwar richtig, aber etwas kompliziert. Mit der Beziehung $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$ geht das auch direkt.

Zitat:

Original von MatheErsti123
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^{\frac{i\pi}{2} } }{2} \right) ^{in}=\left(\frac{e}{2} \right) ^{-\frac{\pi n}{2} } \end{eqnarray*}$

Welche Regel erlaubt diese Umformung? verwirrt

09.01.2014, 17:52

MatheErsti123

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Ja, bisher hatten wir nur eine sehr grobe Einführung in die komplexen Zahlen, ich werde mir das definitiv mal anschauen!
Ich hatte, da ich die Polarform bisher nicht kannte, keine andere Möglichkeit, als diesen komplizierten Weg zu gehen.

Oh stimmt, das war wirklich schlecht. Ich habe mich nochmal neu an die Umformung drangesetzt, jedoch bin ich immernoch nicht zu einem endgültigem Ergebnis gekommen.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{i}{2} \right) ^{in}=\left(\frac{e^{\frac{i\pi }{2} }}{2} \right) ^{in }=\frac{e^{-\frac{\pi n}{2} }}{2^{in}} =\frac{1}{\left(2^i*e^{\frac{\pi }{2} }\right)^n } \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} \left(2^i*e^{\frac{\pi }{2} }\right) \end{eqnarray*}$ größer als 1 ist, würde es sich ja um eine Nullfolge handeln.

Ich hoffe diesmal habe ich alles richtig gemacht. Und vielen Dank, dass du dir soviel Mühe mit mir machst Big Laugh

10.01.2014, 09:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheErsti123
Wenn ich nun zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} \left(2^i*e^{\frac{\pi }{2} }\right) \end{eqnarray*}$ größer als 1 ist

Das Problem ist nur, daß es bei komplexen Zahlen keine "Größer-Kleiner-Ordnung" gibt. Augenzwinkern

Behelfen kann man sich in diesem Fall, wenn man den Betrag des ganzen Ausdrucks betrachtet. Dann kommt man in der Tat dahin, daß es sich um eine Nullfolge handelt. smile

10.01.2014, 16:17

MatheErsti123

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Ok, ich danke dir vielmals für deine Hilfe! Der Rückschluss von der Konvergenz der Folge der Beträge auf die Konvergenz auf die Folge selbst ist aber nur erlaubt, weil es sich um eine Nullfolge handelt, oder?

13.01.2014, 09:47

klarsoweit

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Ja.

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