Kubische Funktion mit nur 3 gegebenen Punkten bestimmen |
| 07.01.2014, 20:58 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kubische Funktion mit nur 3 gegebenen Punkten bestimmen Gesucht ist eine Funktion f(x) mit - Hochpunkt bei (1/7) - Tiefpunkt bei (4/1) - Wendepunkt bei (2/3) Die Aufgabe soll mit einer Matrix gelöst werden. Meine Ideen: Da ich nur 3 Punkte gegeben habe, komme ich nur auf 3 Gleichungen, wobei ich eigentlich 4 benötige ... 1 1 1 1 7 64 16 4 1 1 8 4 2 1 3 Das sind die 3 Gleichungen, die bisher für die Matrix habe ... Bitte euch um Hilfe, sitze da nun schon länger dran und weiß nicht, wie ich auf die letzte Gleichung kommen soll :/ |
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| 07.01.2014, 21:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da das alles spezielle Punkte sind, kann man zudem sogar noch 3 weitere Gleichungen mittels 1. bzw. 2. Ableitung aufstellen. Also eigentlich viel mehr als man braucht... |
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| 07.01.2014, 21:27 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich ja eigentlich auch schon gemacht Habe beispielsweise noch diese als 4.Gleichung in der Matrix verwendet 12 8 1 0 3 (als 1.Ableitung der Wendestelle) und habe dann eine Gleichung erhalten, die jedoch nicht passt :// Vielleicht hab ich auch nur in der Ableitung irgendwas falsch gemacht :o |
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| 07.01.2014, 21:30 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Ableitung und Wendestelle passt irgendwie nicht zusammen. Wie lauten denn deine Ableitungen und welche Gleichung kann man deiner Meinung nach mit dem Wendepunkt noch aufstellen ? |
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| 07.01.2014, 21:38 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht hatte ich gerade einen kleinen Gedankenfehler. f(x)=ax³+bx²+cx+d f'(x)=3ax²+2bx+c+0 f''(x)=6ax+2b+0+0 Ich hoffe nicht, dass da schon mein Fehler liegt. Habe es gerade noch mit einer weiteren Matrix versucht, sodass die dann wie folgt aussieht 1 1 1 1 7 64 16 4 1 1 8 4 2 1 3 48 8 1 0 0 (<- als 1.Ableitung des Tiefpunktes, der y=0 sein muss) Habe dort die Gleichung rausbekommen: -0,166x^3+2,166x²-9,33x+14,33 Die Gleichung liegt, wenn mein Auge nicht täuscht, ungefähr auf den Punkten 
Ich hoffe, dass die dann auch richtig ist 
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| 07.01.2014, 21:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die exakten Brüche nimmst und keine gerundeten Werte, dann passt es auch richtig:
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| 07.01.2014, 21:46 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Vielen Dank für deine Hilfe! |
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| 07.01.2014, 21:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dir ist aber klar, dass der Graph nicht zu den obigen Angaben passt ? |
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| 07.01.2014, 21:55 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was hab ich denn dann falsch gemacht? |
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| 07.01.2014, 22:06 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie in meinem Eingangspost erwähnt, hast du hier mehr Informationen, als dass du sie mit einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verarbeiten könntest. 4 Unbekannte aber 6 zu verarbeitende Gleichungen. Eine ganzrationale Funktion 5. Grades wäre da wohl besser geeignet. |
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| 07.01.2014, 22:16 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1 1 1 1 1 1 7 1024 256 64 16 4 1 1 32 16 8 4 2 1 3 5 4 3 2 1 0 0 1280 256 48 8 1 0 0 160 48 12 2 0 0 0 Das ist meine Matrix jetzt ... Da bekomme ich folgende Gleichung raus: -0,29166x^5+2,8888x^4-8,902777x^3+7,41666x^2+1,7777x+4,1111 Jedoch sieht die nicht so ganz richtig aus. |
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| 07.01.2014, 22:37 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum rundest du immer ? Ich poste mal den Graphen zu deinen Lösungen: |
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| 07.01.2014, 22:39 | b3rlin3rplaya23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit habe ich den Hochpunkt und den Wendepunkt da richtig drinne, jedoch ist der Tiefpunkt bei meiner Lösung ein Hochpunkt :/ |
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| 07.01.2014, 22:49 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So siehts aus. Es müsste zusätzlich eben auch noch f ''(4)>0 gelten, aber daraus kann man eben keine Gleichung mehr für das LGS machen. Fakt ist, es gibt offenbar keine ganzrationale Funktion 3. oder 5. Grades, welche die obigen Bedingungen vollständig erfüllen. Entweder solltet ihr das erkennen oder die Aufgabe ist fehlerhaft/lückenhaft gestellt. |
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| 09.01.2014, 23:53 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Vorschlag: Gegeben sind drei Punkte (x|y) , diese ergeben 3 Gleichungen dann ein Hochpunkt, ergibt eine Gleichung aus f'(x)=0 sowie eine weitere Gleichung aus f''(x)<0 und ein Tiefpunkt, ergibt eine Gleichung aus f'(x)=0 sowie eine weitere Gleichung aus f''(x)>0 sowie ein Wendepunkt, ergibt eine weitere Gleichung aus f''(x)=0 Das sind insgesamt 8 Gleichungen zur Bestimmung eines Polynoms 7. Grades, wobei wegen den beiden Ungleichungen für f''(x)<0 und f''(x)>0 zwei geeignete zusätzliche Parameter eingefügt werden müssen. Ein Beispiel für die gesuchte Funktion wäre: |
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