e-Funktion Trigonometrie

07.01.2014, 21:11

Vorzeichenkrieger

e-Funktion Trigonometrie

Meine Frage:
Hi,
wir haben eine Aufgabe, an der ich mir grade die Zähne ausbeiße:

Sei $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . Man beweise die Identität:

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1}\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin(k\Pi/n)=n. \end{eqnarray*}$
Hinweis: Zeigen sie: Die behauptung folgt aus $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} (1-e^{2\Pi ik/n}) =n. \end{eqnarray*}$
Man verwende die Polynomgleichung:

$\begin{eqnarray*} X^{n}-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1} (X-\beta_{n}^{k}), \beta_{n}:= e^{2\Pi i/n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sin(k\Pi/n)= \frac{1}{2i}*(e^{ik\Pi/n}-e^{-ik\Pi/n}) \end{eqnarray*}$ , hab damit auch etwas rumgerechnet(in beiden Richtungen), was ich euch hier erspare da mir nicht klar ist, wie ich mich damit auf ein =n bewegen soll, ich habe nicht das Gefühl, dass meine Rechnungen irgendwie zielführend wären.

Zum andern ist mir schon allein in der Aufgabenstellung nicht ganz klar, wozu ich die Polynomgleichung verwenden soll, vermutlich weil ich nicht erkennen kann, inwiefern dadurch irgendwas einfacher werden könnte.

07.01.2014, 21:26

MatheIstLustig

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Ich gebe dir zunächst einen Hinweis zur Polynomgleichung.
Deise sollst du verwenden, um die Gleichung in dem Hinweis $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} (1-e^{2\Pi ik/n}) =n. \end{eqnarray*}$ zu beweisen. (1. Schritt der Aufgabe).
Wenn du die beiden Produkte vergleichst fäöllt dir bestimmt die Ähnlichkeit auf. Du kannst zum Vergleichen auch die gegebenen Beta einsetzen: $\begin{eqnarray*} \beta_{n}:= e^{2\Pi i/n} \end{eqnarray*}$
Forme jetzt die Polynomgleichung so um, dass du das Produkt aus dem Hinweis erhälst. Rechne dann die andere Seite aus und ersetzte das X.

07.01.2014, 21:47

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Um wirklich noch zu rechnen bin ich inzwischen zu müde, aber damit ich das morgen richtig verstehe:
Aus der Polynomgleichung soll etwas in der Form \prod ... =n entstehen, bevor ich das X ersetze?
Und das X ersetze ich dann durch 1? Oder etwas anderes? (Möglicherweise wird das dann ersichtlich, aber wie gesagt, bin schon recht müde..)

07.01.2014, 21:54

MatheIstLustig

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Die Polynomgleichung soll auf der einen Seite so aussehen: $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} (X-e^{2\Pi ik/n}) \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du die andere Seite ausrechnen. Mit X=1 bekommst du dann die Gleichung aus dem Hinweis.
Von dort musst du dann zu der Behauptung...

08.01.2014, 11:12

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
HOk, also $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1} (X-e^{2\Pi ik/n}) = \prod\limits_{k=1}^{n-1} (X-e^{2\Pi ik/n}) (X-1) <=> \frac {X^{n}} {X-1}-\frac{1}{X-1}=\prod\limits_{k=1}^{n-1} (X-e^{2\Pi ik/n}) \end{eqnarray*}$
Und nu steh ich auf dem Schlauch... wie gehts weiter?

08.01.2014, 11:46

HAL 9000

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Schlicht und einfach Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} \frac{X^n-1}{X-1} = X^{n-1} + X^{n-2} + \ldots + X + 1 \end{eqnarray*}$

08.01.2014, 13:11

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
hmm, dann hab ich eine Summe. Ich sehe aber nicht, wie mich das näher an =n bringt traurig

08.01.2014, 13:23

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Ah, Kopf->Tisch.
für X=1 ist es einfach n.
kann leider nicht editieren, hab mich grade erst registriert damit das beim nächsten mal klappt.
Vielen dank euch beiden =)

08.01.2014, 17:32

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Um den Rest zu zeigen habe ich "von hinten" angefangen, also den sinus umgeformt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \prod\limits_{k=1}^{n-1} sin \frac{k\Pi}{n} = 2^{n-1} \prod\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2i}(e^{i\Pi k/n}-e^{-i\Pi k/n}) = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{i}(e^{i\Pi k/n}-e^{-i\Pi k/n}) = \prod\limits_{k=1}^{n-1} e^{-i\Pi /2}(e^{i\Pi k/n}-e^{-i\Pi k/n}) \end{eqnarray*}$
und hier steh ich wieder auf dem Schlauch...
zur Erinnerung: ich möchte (jetzt) zeigen:
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n-1} e^{-i\Pi/2}(e^{i\Pi k/n}-e^{-i\Pi k/n})=\prod\limits_{k=1}^{n-1} (1-e^{-i\Pi k/n}) \end{eqnarray*}$
Edith fragt: warum sind die Zeilen nicht untereinander?
Ich hab vor jedem = einen Zeilenumbruch, keine Leerzeichen davor/danach.

08.01.2014, 18:22

HAL 9000

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Klammere doch einfach $\begin{eqnarray*} \left( - e^{-i\pi k/n} \right) \end{eqnarray*}$ aus dem k-ten Produktfaktor aus. Diese Faktoren für sich dann miteinander multipliziert ergibt

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^{n-1} \left( - e^{-i\pi k/n} \right) = (-1)^{n-1} e^{-i\pi/n\cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1}k} \end{eqnarray*}$ ,

was sich rasch weiter vereinfachen lässt (Stichwort: Kleiner Gauß).

08.01.2014, 19:20

Vorzeichenkrieger

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RE: e-Funktion Trigonometrie
Entschuldige das ich so doof fragen muss, aber wo soll ich das ausklammern? Bzw was bleibt dann übrig? ich muss zugeben, ich bin im auswendig lernen ziemlich mies, gut möglich, dass es da eine Rechenregel gibt, die mir nicht bewusst ist, obwohl sie es sein sollte, aber fühl ich mich ziemlich genau wie der Ochse vorm Berg.

Ansonsten:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{n-1} e^{-i\pi/n\cdot \sum\limits_{k=1}^{n-1}k} =(-1)^{n-1} e^{-i\pi/n\cdot n(n-1)/2} =(-1)^{n-1} e^{-i\pi\cdot (n-1)/2} \end{eqnarray*}$
Beim weiteren bin ich mir nicht sicher ob das so stimmt, bzw sinnvoll ist:
$\begin{eqnarray*} =(-1)^{n-1} e^{-i\pi/2\cdot (n-1)} =(-1)^{n-1} i^{n-1} \end{eqnarray*}$
Falls das überhaupt stimmt, kommt ja für n=gerade/ungerade was anderes raus...

08.01.2014, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Vorzeichenkrieger
aber wo soll ich das ausklammern?

Es wäre hilfreich, wenn du die Beiträge ordentlich lesen würdest:

Zitat:

Original von HAL 9000
Klammere doch einfach $\begin{eqnarray*} \left( - e^{-i\pi k/n} \right) \end{eqnarray*}$ aus dem k-ten Produktfaktor aus.

Also aus $\begin{eqnarray*} \left( e^{i\pi k/n} - e^{-i\pi k/n}\right) \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} \left( e^{i\pi k/n} - e^{-i\pi k/n}\right) = \left( - e^{-i\pi k/n}\right) \cdot \left( 1 - e^{2i\pi k/n}\right) \end{eqnarray*}$ .

Schließlich ist der letztere Term ja das, was dich letztendlich im Produkt interessiert, oder etwa nicht? unglücklich

08.01.2014, 20:45

Vorzeichenkrieger

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Ich war mir einfach unsicher was du damit gemeint hast, ich danke dir für deine Gedlud Gott

Hab ich den andern Teil richtig gerechnet? Bzw, falls ja hab ich ja dann
$\begin{eqnarray*} -i^{n-1}*\prod\limits_{k=1}^{n-1} (1- e^{2i\Pi k/n}) \end{eqnarray*}$
und für (n-1) mod 4=3 ist alles gut, nur was ist mit dem Rest? Übersehe ich etwas oder hab ich nen Fehler drin?

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