Geometrische Reihe + glm. Konvergenz

08.01.2014, 14:38

Vazrael

Geometrische Reihe + glm. Konvergenz

Ich soll die geometrische Reihe auf ihr Konvergenzverhalten untersuchen. Die punktweise Konvergenz ist mir verständlich.

Zur gleichmäßigen K.:

Ich betrachte die Funktionenfolge (S_n), also die Folge der Teilsummen.
Hier muss ich ja $\begin{eqnarray*} | S_n - S | \end{eqnarray*}$ betrachten. Und das ist:

$\begin{eqnarray*} |S_n - S| = | \frac{1}{1-z} - \frac{1-z^{n+1}}{1-z} | = \frac{1}{1-x} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht? Und wie gehts nun weiter?

11.01.2014, 07:25

Vazrael

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Ich muss einfach nochmal kurz fragen, ob nicht doch jemand einen Hinweis für mich hat smile

11.01.2014, 07:36

dastrian

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RE: Geometrische Reihe + glm. Konvergenz
Hall Vazrael!

Zitat:

Original von Vazrael
$\begin{eqnarray*} |S_n - S| = | \frac{1}{1-z} - \frac{1-z^{n+1}}{1-z} | = \frac{1}{1-x} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht? Und wie gehts nun weiter?

Du meinst wahrscheilich beide mal $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder aber beide male $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , außerdem fehlen auf der rechten Seite evtl. die Betragsstriche. Weiter sagst du, die punktweise Konvergenz ist dir klar - was ist denn die Grenzfunktion. Und auf welcher Menge ist die gleichmäßige Konvergenz zu untersuchen? Je nachdem ist nämlich $\begin{eqnarray*} x \in \ldots \end{eqnarray*}$ und dann kann man $\begin{eqnarray*} | \frac{x^{n+1}}{1-x} | \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen - oder auch nicht, je nach dem.

12.01.2014, 11:04

Vazrael

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RE: Geometrische Reihe + glm. Konvergenz

Zitat:

Original von dastrian
Hall Vazrael!

Zitat:

Original von Vazrael
$\begin{eqnarray*} |S_n - S| = | \frac{1}{1-z} - \frac{1-z^{n+1}}{1-z} | = \frac{1}{1-x} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$ oder nicht? Und wie gehts nun weiter?

Hallo!

1) Zur punktweisen Konvergenz bzw. Grenzfunktion.
Die gegebene Funktionenreihe konvergiert für |z| < 1. Die Grenzfunktion ist doch dann die Summe der Reihe, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ für |z| < 1 bzw. sind die Teilsummen = $\begin{eqnarray*} \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$ .

2) In der Angabe steht nur die Funktionenreihe wie sie ist mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Eine Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig, falls die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.
Eine Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn...

Mehr weiß ich jetzt auch nicht. Nur, dass der Prof. angegeben hat, die Randpunkte des Konvergenzbereichs zu betrachten. Der Konvergenzkreis ist ja K(0,1). verwirrt

12.01.2014, 11:34

dastrian

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RE: Geometrische Reihe + glm. Konvergenz
Ok, wunderbar! Gut ist der Tip

Zitat:

Original von Vazrael
..., die Randpunkte des Konvergenzbereichs zu betrachten. Der Konvergenzkreis ist ja K(0,1). verwirrt

Also nochmal zusammenfassend: Wir haben die Konvergenzkreisscheube $\begin{eqnarray*} D=K(0,1) \end{eqnarray*}$ , auf der gilt:
$\begin{eqnarray*} f_n = \sum_{k=0}^n z^k \end{eqnarray*}$ konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} z \in D \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

Für die gleichmäßige Konvergenz müssten wir nun
1. ENTWEDER eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f_n(z) - f(z)| = |\frac{1-z^{n+1}}{1-z}| \leq \ldots \end{eqnarray*}$ finden, die unabhängig von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ funktioniert und gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, mit anderen Worten: Es müsste (ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ) für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_{\geq N} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} C_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ geben, sodass gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(z) - f(z)| \leq C_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_{\geq N} \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} z \in D \end{eqnarray*}$ - und außerdem $\begin{eqnarray*} C_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .
2. ODER aber zeigen, dass dies nicht möglich ist. Dies ist dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} |f_n(z) - f(z)| \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist.

Was trifft hier zu? An diesem Punkt ist der Tip deines Profs relevant! Augenzwinkern

12.01.2014, 12:41

Vazrael

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Hallo Dastrian!

Ich habe dazu noch ein paar Fragen:

1.) Wieso muss $\begin{eqnarray*} C_n \to 0 \end{eqnarray*}$ ? Also warum die Abschätzung finden gegen etwas, das gegen 0 konvergiert?

2.) Bei mir ist $\begin{eqnarray*} |f_n(z) - f(z)| = |\frac{1-z^{n+1}}{1-z} - \frac{1}{1-z}| = \frac{z^{n+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$ .

Das ist etwas anderes als bei dir, oder nicht?

3) Nun zu deiner Frage.
Ich möchte das "2. ODER" zeigen, d.h. dass die Reihe NICHT glm. konvergent ist.

12.01.2014, 12:50

dastrian

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Uuh, sorry, verschrieben! Bei 2) hast du natürlich vollkommen recht - und auch bei 3)!

Zu 1): WENN man gleichmäßige Konvergenz nachweisen will (was hier nicht geht, wie du schon sehr richtig vermutest), dann müsste $\begin{eqnarray*} |f_n - f| \end{eqnarray*}$ gegen null konvergieren, und zwar unabhängig von $\begin{eqnarray*} z \in D \end{eqnarray*}$ , dies bedeutet, das Supremum $\begin{eqnarray*} sup_{z \in D} |f_n(z) - f(z)| \end{eqnarray*}$ konvergiere gegen null. Das ist äquivalent zu der Schreibweise mit $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ , die ich angegeben habe.

Um nun zu beweisen, dass es nicht gleichmäßig konvergiert, lasse $\begin{eqnarray*} C_n>0 \end{eqnarray*}$ einfach eine beliebige Nullfolge sein und finde dann jeweils ein $\begin{eqnarray*} z_n \in D \end{eqnarray*}$ , für welches $\begin{eqnarray*} |f_n(z_n) - f(z_n)| > C_n \end{eqnarray*}$ gilt. Dies ist deshalb möglich, weil $\begin{eqnarray*} |f_n(z_n) - f(z_n)| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist - ist dir klar, wo?

12.01.2014, 14:09

Vazrael

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Dann kann ich ja einfach mal

$\begin{eqnarray*} C_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wählen. Ist ja eine Nullfolge.

Und dann nehme ich irgendeinn z und zeige, dass das größer ist als 1/n ?

z.B. z = 3?

_______

Nochmal kurz zu dem Hinweis vom Prof.

Ich hab zwar damit schon eine Lösung, weiß/wusste aber nicht wie man dahinkommt.

Also angegeben war, dass man den Randpunkkt a = 1 betrachtet und die Folge $\begin{eqnarray*} z_n = 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist

$\begin{eqnarray*} | f_n(z_n) - f(z_n) | = ... = (n-1)\cdot (1 - \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ . Und das divergiert bestimmt gegen +unendlich. Ist also nicht beschränkt.

Ich selbst hätte aber (s.o.) spontan NICHT $\begin{eqnarray*} z_n = 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gewählt, sondern eben nur 1/n. Damit muss es ja auch gehen, oder?

12.01.2014, 14:21

dastrian

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Vorsicht, hier sind ein paar Stolpersteine.

1. $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ solll eine beliebige Nullfolge sein. OK, es reicht, sich auf $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ zu beschränken, man müsste aber zeigen, warum.

2. Du sollst ja nicht ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ finden, das größer als $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ ist, sondern ein $\begin{eqnarray*} z \in D = K(0,1) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f_n(z)-f(z)| \end{eqnarray*}$ größer ist als $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ .

3. Mit dem Tipp vom Prof. kannst du die Nullfolge $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ ganz beliebig lassen, denn du hast ja eine Folge von Punkten $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f_n(z)-f(z)| \end{eqnarray*}$ divergiert.

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ würde das nicht gehen, denn $\begin{eqnarray*} |f_n(\frac{1}{n})-f(\frac{1}{n})| \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen null.

Darauf hat auch die abschließende Frage in meinem letzten Beitrag gezielt: Wo ist $\begin{eqnarray*} |f_n(z)-f(z)| \end{eqnarray*}$ unbeschränkt? - In Umgebungen der $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Es gehört zwar der Punkt $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , aber es gibt Folgen in $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkt besitzen. Pickt man sich eine solche Folge heraus (z.B. $\begin{eqnarray*} z_n = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ), so divergiert $\begin{eqnarray*} |f_n(\frac{1}{n})-f(\frac{1}{n})| \end{eqnarray*}$ .

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