Punktw. & gleichm. Konvergenz bei Funktionenfolgen

08.01.2014, 16:11

hahnebambel

Punktw. & gleichm. Konvergenz bei Funktionenfolgen

Hallo Forum,
ich habe ein Problem mit folgenden 2 Aufgaben, es geht darum Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz zu überprüfen:

1.) $\begin{eqnarray*} fn(x) = \frac{nx}{1+n^2*x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in D := [\frac{1}{2},1] \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} fn(x) = \frac{nx}{1+n^2*x^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in D := [0,1] \end{eqnarray*}$

Zur pktw. Konvergenz:

Ich denke beide sind pktw. konvergent, denn es ich kann für beide sagen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} fn(x)= 0 \end{eqnarray*}$ oder nicht? Muss ich für 2.) dann noch speziell zwischen x = 0 und x e (0,1] unterscheiden?

Wie muss ich für die gleichm. Konvergenz vorgehen? Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

08.01.2014, 22:02

dastrian

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RE: Punktw. & gleichm. Konvergenz bei Funktionenfolgen
Guten Abend!

Zitat:

Original von hahnebambel
Ich denke beide sind pktw. konvergent, denn es ich kann für beide sagen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} fn(x)= 0 \end{eqnarray*}$ oder nicht? Muss ich für 2.) dann noch speziell zwischen x = 0 und x e (0,1] unterscheiden?

Punktweise Konvergenz ist richtig, $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ brauchst du nicht extra zu behandeln. Die Frage ist eher: Wie begründest du die punktweise Konvergenz denn? Also aus welchem Satz über Folgenkonvergenz kannst du ableiten, dass für ein beliebiges, aber festes $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{nx}{1 + n^2 x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Zur gleichmäßigen Konvergenz: Sei $\begin{eqnarray*} f(x):=0 \end{eqnarray*}$ die Nullfunktion, also diejenige Funktion, gegen die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise konvergiert. Kann man nun für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ finden, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| = |f_n(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$
für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ gilt?

Versuch dazu mal, $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ so abzuschätzen, dass dabei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rausfällt (dass also $\begin{eqnarray*} |f_n(x)|\leq \ldots \end{eqnarray*}$ dasteht und der rechte Ausdruck nicht mehr von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt). Nehme dazu erstmal den ersten Fall an, also $\begin{eqnarray*} x \in [\frac{1}{2}, 1] \end{eqnarray*}$

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