Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel

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hilfus Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel
Meine Frage:
Ich muss die Formeln für das maximale Volumen, die max. Mantelfläche und die max. Oberfläche des Drehkegels finden.
Hinweis aus der Aufgabe: man wende den Höhesatz an
Außerdem ist der Radius der Kugel gegeben!
x ist in meinem Fall der Radius des Drehkegels
y ist die gedachte Strecke vom Mittelpunkt der Kugel zum Mittel punkt der Grundfläche des Kegels

Meine Ideen:
Ich habe mittlerweile die Formeln für das max. Volumen und die max. Mantelfläche, bin mir jedoch nicht sicher, ob diese auch wirklich stimmen:
V=(2/3)r^2*pi*(4/9)r
M= pi*wurzel aus((16/9)r^2)
Für die Oberfläche muss man zuerst die Formel aufstellen:x*pi*s+x^2
Dann s mit: wurzel aus(2r^2+2ry) und x mit: wurzel aus(r^2-y^2) erstzen.
Jetzt weiß ich aber ebn nicht weiter...
Ich bitte um eine möglichst rasche Antwort smile
PS: Leider trat ein Fehler, beim Versuch das Bild dazu hochzuladen, auf.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel
1. Gibt es einen Link zu deiner Grafik?
2. Wenn der Radius der Kugel gegeben ist, hat er auch einen Wert?
3. Mich würde interessieren, wie du mit dem Höhensatz gearbeitet hast.
4. Bei der Formel für die Kegeloberfläche fehlt etwas.

smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

1. Nein. Das Bild ist aus einem Buch
2. Nein, damit ist folgendes gemeint: Bei den gesuchten Endformeln darf r verwendet werden. r hat keinen Wert, aber man handelt, so als wäre es eine Zahl.
3. Ich weiß selber peinlicherweiße nicht was das zu bedeuten hat Augenzwinkern . Unsere Frau Professor hat dies auch nicht erklärt. Es steht halt eimfach unter der Aufgabe und ich hab mir gedacht, dass das bei der Aufgabe helfen könnte.
4. Was fehlt? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

3. Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Er besagt, dass das Produkt der Hypotenusenabschnitte so groß ist wie das Quadrat über der Höhe über der Hypotenuse.

4. Ein weiteres pi fehlt: O = x·pi·s+pi·x²

Gut, da nun meine Fragen geklärt sind, werde ich mal die Aufgabe durchrechnen.

Mir ist noch folgendes aufgefallen:
Zitat:
Dann s mit: wurzel aus(2r^2+2ry)

Hattest du dazu irgendetwas umgeformt? verwirrt
edit: Habe es selbst erkannt, es ist die Anwendung des Kathetensatzes.

smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel
4. Stimmt hab ich total vergessen Hammer
Leider kann man sich das Ganze ohne Bild weniger gut vorstellen.
Hier aber ein Bild vom Internet! In meinem Fall ist das r ein x und das R ein r! smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel
Und die 2 langen blauen Seiten sind bei meiner Aufgabe s. Augenzwinkern
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel
Ich hatte zwischenzeitlich auch eine Zeichnung angefertigt.
Hier kannst du auch sehen, wo der Höhensatz ansetzt:
[attach]32603[/attach]
Es geht um das grau unterlegte rechtwinklige (s. Thaleskreis) Dreieck.

Die entstehende Gleichung lautet in unserem Fall x² = (r+y)·(r-y) bzw. x² = r² -y².
Man muss dazu übrigens nicht unbedingt mit dem Höhensatz arbeiten, auch das kleine Tieldreieck lila/grün/orange liefert diese Erkenntnis. Augenzwinkern

Ich habe jetzt mal angefangen, die Gleichung für die Oberfläche entsprechend umzuformen.
Das wird doch eine ziemlich aufwändige Geschichte und ist nicht sehr angenehm zu rechnen.
Leider hilft auch das Quadrieren der Gleichung nicht viel, weil wir eine Summe haben.

Ziel ist also erstmal, eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten.
Ich habe y als Variable gewählt, bin mir aber nicht sicher, ob ich nicht lieber zu x wechseln sollte.
Zunächst wollte ich aber erst mal eine Rückmeldung von dir erhalten.

smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Fr. Professor gab mir heute einen Tipp:
Ich hatte ja die Gleichung: wurzel aus(r^2-y^2)*pi*wurzel aus(2r^2+2ry)+pi*(r^2-y^2)
1. Nun kann ich "pi" herausheben und
2. Ich vereinfache mir das Ganze, indem ich für "r" 1 einsetze und dann erst das Ergebnis mit "r" wieder multipliziere.
So erhalt ich nun: pi*(wurzel aus(1-y^2)*wurzel aus(4+2y)+1-y^2)
Die Wurzeln kann ich noch ausrechnen: pi*(wurzel aus(4+2y-4y^2-2y^3)+1-y^2)
Aber wie jetzt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst sollten wir die Gleichung klar machen.

Zitat:
wurzel aus(r^2-y^2)*pi*wurzel aus(2r^2+2ry)+pi*(r^2-y^2)


Das sieht ziemlich unübersichtlich aus. Es wäre gut, mit Latex zu arbeiten. Ansonsten solltest du auf jeden Fall statt ^2 eine ² schreiben. Dies geht mit AltGr 2. Analog für ^3 die ³. Augenzwinkern

Meine Gleichung für die Oberfläche wäre diese:



Ich habe also die beiden Wurzeln des ersten Summanden zusammengefasst.

Setzen wir deinem Vorschlag entsprechend r = 1 und heben pi heraus:



Du hast an dieser Stelle stehen:
Zitat:
pi*(wurzel aus(1-y^2)*wurzel aus(4+2y)+1-y^2)

Die 4 kann ich nicht ganz nachvollziehen. verwirrt

Ansonsten wäre die Gleichung dann soweit vereinfacht, dass man ableiten kann.

smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider nicht mit Latex arbeiten. Das da aber ² werd' ich jetzt immer anwenden smile
Der 4er ist falsch, da hast du recht.
Wäre es vielleicht sinnvoller die zwei Klammern in der Wurzel am Schluss noch auszumultiplizieren? Ich hab das halt gemacht smile
Die erste Ableitung wäre dann: pi*(wurzel aus(2-4y-6y²)-2y)
Die zweite Ableitung: pi*(wurzel aus(-4-12y)-2)
Stimmen beide Ableitungen? verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitungen stimmen leider nicht. Beim Ableiten der Wurzel musst du die Kettenregel anwenden. Augenzwinkern
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

...und wieder hast du Recht Augenzwinkern
Jetzt sollten die Ableitungen aber stimmen:
1. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-1/2)-2y)
2. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(-1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-3/2)*(-4-12y)-2)
Bekomm' ich jetzt grünes Licht? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-1/2)-2y) Freude

2. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(-1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-3/2)*(-4-12y)-2) verwirrt


Die erste Ableitung sieht mit Latex dargestellt so aus:



Du musst also für die zweite Ableitung neben der Kettenregel für die Wurzel auch entweder die Produktregel anwenden oder die Quotientenregel (wenn du dir das Produkt als Bruch denkst).

smile
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Hab im Internet das gefunden:
pi*(1/2*(-4-12x)*(2+2*x-2*x^2-2*x^3)^-0.5-(2-4x-6x^2)*1/2*1/2*(2-4x-6x^2)*(2+2x-2x^2-2x^3)^(-3/2)-2)
Weiters:
- 1. Abl. 0 setzen --> Xe
- die Xe in 2. Abl. einsetzen --> mit X bei negativen Ergebnissen weiterrechnen
- in Ursprungsformel einsetzen
Stimmts so?? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

So wäre es richtig:

O''(x) = pi*(1/2*(-4-12x)*(2+2*x-2*x^2-2*x^3)^-0.5-(2-4x-6x^2)*1/2*1/2*(2-4x-6x^2)*(2+2x-2x^2-2x^3)^(-3/2)-2)

Du hast jetzt x als Variable haben anstatt y, das solltest du im Gesamtzusammenhang nicht übersehen bzw doch lieber mit y arbeiten.
Das x ist nämlich schon anderweitig verwendet. Augenzwinkern

Deine Gedanken zum weiteren Vorgehen sind richtig. Freude

Mal eine Frage: Warum rechnest du diese Aufgabe eigentlich? Sie ist eine relativ ungewöhnliche Extremwertaufgabe, ich habe sie in dieser Form auch nicht im Netz finden können.
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die erste Abl. 0 setze bekomme ich für y gerundet 0,18
Ich setze das in die 2. Abl. und siehe da...das Ergebnis ist negativ smile
Jetzt häng' ich wieder das r dran und erhalte so: 0,18r
Nun kann ich das in die Gleichung s= wurzel aus(2r²+2ry) und x= wurzel aus(r²-y²) für y einsetzen und erhalte: s= wurzel aus(2r²+2r*0,18r) = wurzel aus(2,36r²) = 1,54r
x= wurzel aus(r²-0,0234r²) = wurzel aus(0,9676r²) = 0,98r
Und das jetzt nur mehr in die Oberflächenformel einfügen:
O= 0,98r*pi*1,54r+(0,98r)²*pi = pi*(1,51r²+0,96r²) = pi*2,47
Das sollte so stimmen... smile
Was bekommst du heraus?

Das ist ein Teil meiner "Winterferienhausaufgabe". Unsere Fr. Prof. gab jedem Schüler eine andere Aufgabe, so konnte ich keinen aus meiner Klasse fragen...
Sie hat bereits vor den Ferien betont, dass man dabei richtig knobeln muss Augenzwinkern
Jedenfalls ist morgen Abgabetermin.
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Hab soeben ein Fehler entdeckt smile
Natürlich kommt pi*2,47r² als Endergebnis heraus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dein Ergebnis bestätigen. Freude
hilfus Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar smile
Vielen Dank für deine Hilfe
...und vlt. "sehen" wir uns wieder bei einer anderen Mathe-Aufgabe smile
Schöne Grüße aus Italien Wink
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, melde dich gerne wieder, wenn du Fragen zu einer Aufgabe hast. smile

Schöne Grüße aus dem hohen Norden in den tiefen Süden zurück. Wink
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