Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel |
08.01.2014, 17:38 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel Ich muss die Formeln für das maximale Volumen, die max. Mantelfläche und die max. Oberfläche des Drehkegels finden. Hinweis aus der Aufgabe: man wende den Höhesatz an Außerdem ist der Radius der Kugel gegeben! x ist in meinem Fall der Radius des Drehkegels y ist die gedachte Strecke vom Mittelpunkt der Kugel zum Mittel punkt der Grundfläche des Kegels Meine Ideen: Ich habe mittlerweile die Formeln für das max. Volumen und die max. Mantelfläche, bin mir jedoch nicht sicher, ob diese auch wirklich stimmen: V=(2/3)r^2*pi*(4/9)r M= pi*wurzel aus((16/9)r^2) Für die Oberfläche muss man zuerst die Formel aufstellen:x*pi*s+x^2 Dann s mit: wurzel aus(2r^2+2ry) und x mit: wurzel aus(r^2-y^2) erstzen. Jetzt weiß ich aber ebn nicht weiter... Ich bitte um eine möglichst rasche Antwort PS: Leider trat ein Fehler, beim Versuch das Bild dazu hochzuladen, auf. |
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08.01.2014, 18:13 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel 1. Gibt es einen Link zu deiner Grafik? 2. Wenn der Radius der Kugel gegeben ist, hat er auch einen Wert? 3. Mich würde interessieren, wie du mit dem Höhensatz gearbeitet hast. 4. Bei der Formel für die Kegeloberfläche fehlt etwas. |
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08.01.2014, 19:17 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Nein. Das Bild ist aus einem Buch 2. Nein, damit ist folgendes gemeint: Bei den gesuchten Endformeln darf r verwendet werden. r hat keinen Wert, aber man handelt, so als wäre es eine Zahl. 3. Ich weiß selber peinlicherweiße nicht was das zu bedeuten hat . Unsere Frau Professor hat dies auch nicht erklärt. Es steht halt eimfach unter der Aufgabe und ich hab mir gedacht, dass das bei der Aufgabe helfen könnte. 4. Was fehlt? |
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08.01.2014, 19:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
3. Der Höhensatz gehört zur Satzgruppe des Pythagoras. Er besagt, dass das Produkt der Hypotenusenabschnitte so groß ist wie das Quadrat über der Höhe über der Hypotenuse. 4. Ein weiteres pi fehlt: O = x·pi·s+pi·x² Gut, da nun meine Fragen geklärt sind, werde ich mal die Aufgabe durchrechnen. Mir ist noch folgendes aufgefallen:
Hattest du dazu irgendetwas umgeformt? edit: Habe es selbst erkannt, es ist die Anwendung des Kathetensatzes. |
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08.01.2014, 21:00 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel 4. Stimmt hab ich total vergessen Leider kann man sich das Ganze ohne Bild weniger gut vorstellen. Hier aber ein Bild vom Internet! In meinem Fall ist das r ein x und das R ein r! |
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08.01.2014, 21:03 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel Und die 2 langen blauen Seiten sind bei meiner Aufgabe s. |
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08.01.2014, 21:16 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Extremwertaufgabe: Drehkegel in Kugel Ich hatte zwischenzeitlich auch eine Zeichnung angefertigt. Hier kannst du auch sehen, wo der Höhensatz ansetzt: [attach]32603[/attach] Es geht um das grau unterlegte rechtwinklige (s. Thaleskreis) Dreieck. Die entstehende Gleichung lautet in unserem Fall x² = (r+y)·(r-y) bzw. x² = r² -y². Man muss dazu übrigens nicht unbedingt mit dem Höhensatz arbeiten, auch das kleine Tieldreieck lila/grün/orange liefert diese Erkenntnis. Ich habe jetzt mal angefangen, die Gleichung für die Oberfläche entsprechend umzuformen. Das wird doch eine ziemlich aufwändige Geschichte und ist nicht sehr angenehm zu rechnen. Leider hilft auch das Quadrieren der Gleichung nicht viel, weil wir eine Summe haben. Ziel ist also erstmal, eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten. Ich habe y als Variable gewählt, bin mir aber nicht sicher, ob ich nicht lieber zu x wechseln sollte. Zunächst wollte ich aber erst mal eine Rückmeldung von dir erhalten. |
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09.01.2014, 18:12 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Fr. Professor gab mir heute einen Tipp: Ich hatte ja die Gleichung: wurzel aus(r^2-y^2)*pi*wurzel aus(2r^2+2ry)+pi*(r^2-y^2) 1. Nun kann ich "pi" herausheben und 2. Ich vereinfache mir das Ganze, indem ich für "r" 1 einsetze und dann erst das Ergebnis mit "r" wieder multipliziere. So erhalt ich nun: pi*(wurzel aus(1-y^2)*wurzel aus(4+2y)+1-y^2) Die Wurzeln kann ich noch ausrechnen: pi*(wurzel aus(4+2y-4y^2-2y^3)+1-y^2) Aber wie jetzt? |
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09.01.2014, 19:04 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst sollten wir die Gleichung klar machen.
Das sieht ziemlich unübersichtlich aus. Es wäre gut, mit Latex zu arbeiten. Ansonsten solltest du auf jeden Fall statt ^2 eine ² schreiben. Dies geht mit AltGr 2. Analog für ^3 die ³. Meine Gleichung für die Oberfläche wäre diese: Ich habe also die beiden Wurzeln des ersten Summanden zusammengefasst. Setzen wir deinem Vorschlag entsprechend r = 1 und heben pi heraus: Du hast an dieser Stelle stehen:
Die 4 kann ich nicht ganz nachvollziehen. Ansonsten wäre die Gleichung dann soweit vereinfacht, dass man ableiten kann. |
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12.01.2014, 09:57 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann leider nicht mit Latex arbeiten. Das da aber ² werd' ich jetzt immer anwenden Der 4er ist falsch, da hast du recht. Wäre es vielleicht sinnvoller die zwei Klammern in der Wurzel am Schluss noch auszumultiplizieren? Ich hab das halt gemacht Die erste Ableitung wäre dann: pi*(wurzel aus(2-4y-6y²)-2y) Die zweite Ableitung: pi*(wurzel aus(-4-12y)-2) Stimmen beide Ableitungen? |
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12.01.2014, 16:42 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Ableitungen stimmen leider nicht. Beim Ableiten der Wurzel musst du die Kettenregel anwenden. |
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12.01.2014, 20:32 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
...und wieder hast du Recht Jetzt sollten die Ableitungen aber stimmen: 1. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-1/2)-2y) 2. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(-1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-3/2)*(-4-12y)-2) Bekomm' ich jetzt grünes Licht? |
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12.01.2014, 20:56 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-1/2)-2y) 2. Ableitung: pi*((2-4y-6y²)*(-1/2)*(2+2y-2y²-2y³)^(-3/2)*(-4-12y)-2) Die erste Ableitung sieht mit Latex dargestellt so aus: Du musst also für die zweite Ableitung neben der Kettenregel für die Wurzel auch entweder die Produktregel anwenden oder die Quotientenregel (wenn du dir das Produkt als Bruch denkst). |
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12.01.2014, 23:02 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab im Internet das gefunden: pi*(1/2*(-4-12x)*(2+2*x-2*x^2-2*x^3)^-0.5-(2-4x-6x^2)*1/2*1/2*(2-4x-6x^2)*(2+2x-2x^2-2x^3)^(-3/2)-2) Weiters: - 1. Abl. 0 setzen --> Xe - die Xe in 2. Abl. einsetzen --> mit X bei negativen Ergebnissen weiterrechnen - in Ursprungsformel einsetzen Stimmts so?? |
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13.01.2014, 09:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wäre es richtig: O''(x) = pi*(1/2*(-4-12x)*(2+2*x-2*x^2-2*x^3)^-0.5-(2-4x-6x^2)*1/2 Du hast jetzt x als Variable haben anstatt y, das solltest du im Gesamtzusammenhang nicht übersehen bzw doch lieber mit y arbeiten. Das x ist nämlich schon anderweitig verwendet. Deine Gedanken zum weiteren Vorgehen sind richtig. Mal eine Frage: Warum rechnest du diese Aufgabe eigentlich? Sie ist eine relativ ungewöhnliche Extremwertaufgabe, ich habe sie in dieser Form auch nicht im Netz finden können. |
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13.01.2014, 15:43 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich die erste Abl. 0 setze bekomme ich für y gerundet 0,18 Ich setze das in die 2. Abl. und siehe da...das Ergebnis ist negativ Jetzt häng' ich wieder das r dran und erhalte so: 0,18r Nun kann ich das in die Gleichung s= wurzel aus(2r²+2ry) und x= wurzel aus(r²-y²) für y einsetzen und erhalte: s= wurzel aus(2r²+2r*0,18r) = wurzel aus(2,36r²) = 1,54r x= wurzel aus(r²-0,0234r²) = wurzel aus(0,9676r²) = 0,98r Und das jetzt nur mehr in die Oberflächenformel einfügen: O= 0,98r*pi*1,54r+(0,98r)²*pi = pi*(1,51r²+0,96r²) = pi*2,47 Das sollte so stimmen... Was bekommst du heraus? Das ist ein Teil meiner "Winterferienhausaufgabe". Unsere Fr. Prof. gab jedem Schüler eine andere Aufgabe, so konnte ich keinen aus meiner Klasse fragen... Sie hat bereits vor den Ferien betont, dass man dabei richtig knobeln muss Jedenfalls ist morgen Abgabetermin. |
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13.01.2014, 15:45 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab soeben ein Fehler entdeckt Natürlich kommt pi*2,47r² als Endergebnis heraus |
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13.01.2014, 19:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kann dein Ergebnis bestätigen. |
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13.01.2014, 20:19 | hilfus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wunderbar Vielen Dank für deine Hilfe ...und vlt. "sehen" wir uns wieder bei einer anderen Mathe-Aufgabe Schöne Grüße aus Italien |
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13.01.2014, 20:22 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, melde dich gerne wieder, wenn du Fragen zu einer Aufgabe hast. Schöne Grüße aus dem hohen Norden in den tiefen Süden zurück. |
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