Drehungen

08.01.2014, 19:27	Knurpel	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehungen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} A,B \in M(3x3, \mathbb R ) \end{eqnarray}$ Matrizen, die Drehungen um die Achse $\begin{eqnarray} G_{u}:={\Lambda u : \Lambda \in \mathbb R } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_{v} := {\Lambda v : \Lambda \in \mathbb R } \end{eqnarray}$ beschreiben, wo $\begin{eqnarray} G_{u} \cap G_{v} = {0} \end{eqnarray}$ und u ungleich 0 ungleich v. Zeigen Sie, dass das Produkt AB auch eine Drehung um eine Achse beschreibt. Meine Ideen: Ich weiß nicht genau, wie ich hier ansetzen soll. Also zunächst einmal haben Rotationsmatrizen den Eigenwert 1, und der dazugehörige Eigenvektor ist der Richtungsvektor der Drehachse. Das bedeutet ich weiß schonmal, dass u und v jeweils Eigenvektoren von A und B sind. Und da die Schnittmenge der Drehachsen der Nullvektor ist, weiß ich, dass sie durch ebendiesen gehen. Aber wie genau ich diese Informationen nutzen kann, weiß ich leider nicht...
08.01.2014, 21:48	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehungen Guten Abend! Jede Drehmatrix ist umkehrbar, es existieren also $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ . Interessant ist nun der Vektor $\begin{eqnarray} B^{-1}u \end{eqnarray}$ bzw. die dazugehörige Gerade... Abgesehen davon muss man sich auch Gedanken machen, wie man begrüdet, dass $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ ebenfalls eine Drehmatrix ist. Ich empfehle, zuerst auf den obigen Tip mit $\begin{eqnarray} B^{-1}u \end{eqnarray}$ einzugehen und dann auf die zweite Frage.
09.01.2014, 10:38	Knurpel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm.... Ich weiß nicht genau was du meinst.... Hab ein bisschen rumprobiert, und da ist bei mir rausgekommen das A die Einheitsmatrix ist, und das ergibt nicht so viel Sinn, denke ich Drehmatrizen sind doch orthogonal, und für Orthogonalmatrizen gilt doch B^(-1)=A^T Und die Transponierte Matrix hat doch die selben Eigenwerte wie die normale, also ist doch A^(T) * u = 1 * u ,genauso wie A...oder nicht?
09.01.2014, 16:12	Knurpel	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand noch einen Tipp?
09.01.2014, 22:29	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, konnte erst jetzt online kommen! Ne, die Einheitsmatrix muss es nicht sein, aber du hast natürlich Recht, dass Drehmatrizen per Definition orthogonale Matrizern mit Determinante 1 sind. Du meinst aber wohl $\begin{eqnarray} A^{-1} = A^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B^{-1} = B^T \end{eqnarray}$ Und daraus folgt sofort für den Eigenvektor $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ aus der Beziehung $\begin{eqnarray} Au = u \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} u = A^{-1}u = A^Tu \end{eqnarray}$ Auf der Schiene kann man ziemlich lei9cht zeigen, dass $\begin{eqnarray} C := AB \end{eqnarray}$ eine Drehmatrix ist. Was aber ist ihr Eigenvektor?

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