Asymptote bei Steigung

02.03.2007, 19:04

gast07

Asymptote bei Steigung

Hi,

ich gehe gerade ein paar Abiaufgeben durch und hab bei einer keinen wirklichen Ansatz.

e) Untersuchen Sie, ob das Schaubild von g eine Asymptote mit der Steigung 1/3 hat.

Die Fkt. lautet: $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3} \cdot x + 3 - \sqrt{x+4} \end{eqnarray*}$

In einer vorherigen Aufgabe wurde bereits das Grenzverhalten für g' bei x -> -4 bestimmt und da kommt eine Asymptote bei 1/3 heraus.
Ist das die selbe Aufgabe einfach noch mal? Oder was genau soll ich hier machen?

Ich verstehe nicht ganz, wie eine Asymptote die Steigung 1/3 haben kann. Mit Analysis hab ich eigentlich wenig Probleme und alle anderen Aufgaben gingen bis jetzt auch problemlos, aber mit Asymptoten haben wir so gut wie nie gearbeitet, weil am Ende keine Zeit mehr war unglücklich

Wäre euch dankbar, wenn ihr mit einen Ansatz geben könntet, damit ich verstehen kann, wie das gehen soll...

Vielen Dank schonmal!

jens

02.03.2007, 19:27

tigerbine

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RE: Asymptote bei Steigung

Zitat:

Original von gast07

Ich verstehe nicht ganz, wie eine Asymptote die Steigung 1/3 haben kann.

jens

Warum sollte sie dass nicht können. Der Graph der Funktion nähert sich dann eben immer mehr einer Geraden der Form

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{3}x + C \end{eqnarray*}$

02.03.2007, 19:38

gast07

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Hi,

hm ja, habe ich auch grade gemerkt, die Wurzel kann sich ja auch "schräg" annähern. Haben eben nur e-Funktionen betrachtet, da sind die Asymptoten ja meist orthogonal zu den Achsen.

Würde dann hier gelten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} ( \frac{1}{3} \cdot x +3 -\sqrt{x+4} ) = \frac{1}{3} \cdot x + c \end{eqnarray*}$ ?

Aber wie kann man das bestätigen?
ich hab dann doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \infty + 3 - \infty \end{eqnarray*}$ stehen, dass ist ja kein verwertbarer Ausdruck?!?

Wäre wirklich dankbar, wenn ihr mir noch einen Tipp geben könntet.

Danke schon ma!

02.03.2007, 19:41

tigerbine

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RE: Asymptote bei Steigung

Mehr Tips (von mir) nach dem Abendessen

02.03.2007, 19:56

gast07

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RE: Asymptote bei Steigung
ja, am Graphen sieht man, dass es die Asymptote nicht gibt. Irgendwann schneidet die Gerade die Funktion, egal wie groß man C wählt

Aber wirklich weiterbringen tut mich das doch nicht unglücklich

Sorry, dass ich ne bischen arg aufm Schlauch stehe traurig

02.03.2007, 22:54

tigerbine

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RE: Asymptote bei Steigung
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3} \cdot x + 3 - \sqrt{x+4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(0) = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn der Graph asymptotisch zu einer Geraden verläuft, was bedeutet dies dann für den Grenzwert der Steigung? Idee!

$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{1}{3} - \frac{1}{2\sqrt{x+4}}\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~g'(x) = \frac{1}{3}^- \end{eqnarray*}$

D.h., sie die Funktion würde sich der Asymptote von unten her annähern.

$\begin{eqnarray*} g''(x) =-\frac{-\frac{2}{2\sqrt{x+4}}\cdot 1}{4(x+4)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x+4}}}{4(x+4)}>0 \end{eqnarray*}$

D.h. die Funktion ist linksgekrümmt (konkav). Somit ist es unmöglich, dass si sich einer Geraden mit obiger Steigung asymptotisch nähert. Vergleiche dazu auch dei Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~g(x)-f(x) = \lim_{x \to \infty}~C-3 + \sqrt{x+4} \stackrel{\mathrm{!}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x \to \infty}~\sqrt{x+4} \stackrel{\mathrm{!}} =3-C \end{eqnarray*}$

Da die Wurzelfuntkion nicht von oben beschränkt ist, ist dies nicht möglich und es existiert keine solche Asymptote.

02.03.2007, 23:20

gast07

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RE: Asymptote bei Steigung
Hi,

vielen Dank für deine Erklärungen.
Dass leuchtet mir jetzt alles ein und ich denke, dass ich es auch verstanden habe.

Drei Fragen hab ich aber noch:

Zum einen, das quadrat bei g''(x) im nenner gehört aber nicht da hin oder?

Dann, ist "onige Steigung" ein bestimmter Begriff und sagt was aus?
Nehme an, dass ein Buchstabe fehlt, hab leider nirgendwo was gefunden, wie es sonst heißen könnte. Tut mir leid, wenn ich so blöde Fragen stelle, aber ich vergess selbst zu oft irgendwelche Buchstaben unglücklich

Und dann noch eine letzte Frage. Wo kommt die letzte Gleichung her, dass lim g-f=0 ist. Die hab ich schon mal irgendwo gesehen im Netz, aber da stand auch kein Name dazu da. Hat die Gleichung irgend eine Bezeichnung, bzw. hast du einen Link zur Herleitung?
Ich arbeite nicht gerne mit Formeln, die ich irgendwo her hab, aber nicht weiß, was sie wirklich aussagen...

Vielen Dank und ein schönes Wochenende!

Gruß,
jens

03.03.2007, 00:12

tigerbine

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RE: Asymptote bei Steigung
Aslo Frage 1 und 2 waren Tippfehler. Zu Frage 3, da hab ich nur mal umgesetzt, was man unter asymptotischer Annäherung zu verstehen hat.

Der Graph der Funktion soll sich ja beliebig nahe der Geraden nähern. Also muss der Grenzwert der Differenzfunktion 0 sein. Ob das einen Namen hat, weiß ich nicht. Das kann aber jeder alleine aufstellen, durch "logisches Nachdenken".

Es wird sowas unter dem Namen Asymtpote zu finden sein, aber die Definitionen bei wikipedia sind nicht "exakt" und zur Großrecherche hab ich gerade keine Lust Augenzwinkern

Wenn du was findest, kannst du es gerne melden.

Da wir aber hier zeigen, dass der GRenzwert nicht Null ist, was sicherlich eine notwendige Voraussetzung der Asymptoteneigenschaft ist, ist es unerheblich, welche Bedingungen noch gelten müssen (in einer sauberen Definition)

Gruß,
tigerbine

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