Kreis affin Abbilden

08.01.2014, 21:17	Nick9999	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis affin Abbilden Meine Frage: Hallo, ich lerne gerade fürs Abitur und brauche dringend Hilfe Ich habe die Kreisgleichung: $\begin{eqnarray} K: \left(\vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right)^{2}=4 \end{eqnarray}$ Dann die Abbildungsmatrix: $\begin{eqnarray} \vec{x'}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{4} \\ \frac{4}{3} & 0 \end{pmatrix}\vec{x} \end{eqnarray}$ Und ich muss Beweisen, dass K' gleich folgendes ist: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{\left(x_{1}-1,5\right)^2}{1,5^2}+ \frac{\left(x_{2}-\frac{8}{3} \right)^2}{\left(\frac{8}{3} \right)^2} =1 <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Leider habe ich keine Ahnung was ich mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ machen muss. Ohne also: $\begin{eqnarray} K: \left(\vec{x}\right)^{2}=4 \end{eqnarray}$ Würde ich folgende Maßen vorgehen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{4} \\ \frac{4}{3} & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{3}{4}x_{2} \\ \frac{4}{3}x_{1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{3}{4}x_{2} \\ \frac{4}{3}x_{1} \end{pmatrix}^2=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{3}{4}x_{2}\right)^2 +\left(\frac{4}{3}x_{1}\right)^2 =4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x_{2}^2}{\frac{4}{3}^2 }+\frac{x_{1}^2}{\frac{3}{4}^2 }=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x_{2}^2}{\frac{16}{9} }+\frac{x_{1}^2}{\frac{9}{16} }=4\|/4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x_{2}^2}{\frac{64}{9} }+\frac{x_{1}^2}{\frac{9}{4} }=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x_{2}^2}{\left(\frac{8}{3} \right)^2} +\frac{x_{1}^2}{\left(\frac{3}{2} \right)^2 }=1 \end{eqnarray*}$
09.01.2014, 08:06	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis affin Abbilden Guten Morgen, Deine Überlegungen zur Berechnung des Bildvektors sind völlig richtig und völlig ausreichend. Schreibe die Kreisgleichung etwas anders: $\begin{eqnarray} K: \left(\vec{x} -\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right)^{2}=4~\implies~K: \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right)^{2}=4 \end{eqnarray}$ Nach der Abbildung von $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt berechnen und das Ganze durch ausklammern und dividieren in die übliche Form einer Ellipsengleichung bringen.
09.01.2014, 18:16	Nick9999	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis affin Abbilden Vielen dank Ich glaub jetzt hab ich es. [attach]32610[/attach] Wirklich angenehmen zu rechnen ist das ganze aber nicht
10.01.2014, 08:15	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis affin Abbilden Herzlichen Glückwunsch! Wie Du Dir sicherlich auch schon gedacht hast, hast Du Dir das Leben ziemlich schwer gemacht. Aber Umwege sind ja eigentlich viel interessanter ... Hier nun ein etwas kürzerer Weg: $\begin{eqnarray} K: \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right)^{2}=4 ~\implies~K: \begin{pmatrix} \left(\frac34 x_2 - 2 \right) \\ \left(\frac43 x_1 - 2 \right) \end{pmatrix} ^{2}=4 \end{eqnarray}$ Das Ganze ist ein Skalarprodukt: $\begin{eqnarray} \left(\frac34 x_2 - 2 \right)^2 + \left(\frac43 x_1 - 2 \right)^2=4~\implies~\frac{16}9 \left(x_1 - \frac64 \right)^2 + \frac9{16} \left(x_2 - \frac83 \right)^2 = 4 \end{eqnarray}$ Nun noch durch 4 teilen und die Koeffizienten unter die Klammern bringen und Du bist fertig.
10.01.2014, 12:20	Nick9999	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis affin Abbilden Ah Nochamls vielen dank. Dieser Weg ist für eine Klausur deutlich geigneter $\begin{eqnarray} K: \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right)^{2}=4 ~\implies~K: \begin{pmatrix} \left(\frac34 x_2 - 2 \right) \\ \left(\frac43 x_1 - 2 \right) \end{pmatrix} ^{2}=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~ \left(\frac34 x_2 - 2 \right)^2 + \left(\frac43 x_1 - 2 \right)^2=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~ \left(\frac{3}{4}\left( x_2 - \frac83 \right)\right)^2 + \left( \frac43\left( x_1 - \frac64 \right)\right)^2=4 \end{eqnarray}$ Hier sind es $\begin{eqnarray} \frac{16}9 \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \frac{16}4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~\frac{16}9 \left(x_1 - \frac64 \right)^2 + \frac{9}{16} \left(x_2 - \frac83 \right)^2 = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~\frac{\left(x_1 - \frac64 \right)^2}{\frac{9}{16}} + \frac{ \left(x_2 - \frac83 \right)^2}{\frac{16}{9}} = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~\frac{\left(x_1 - \frac64 \right)^2}{\frac{9}{4}} + \frac{ \left(x_2 - \frac83 \right)^2}{\frac{64}{9}} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\implies~\frac{\left(x_1 - \frac64 \right)^2}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} + \frac{ \left(x_2 - \frac83 \right)^2}{\left(\frac{8}{3}\right)^2} = 1 \end{eqnarray}$

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