Erwartungswert Würfelspiel |
| 08.01.2014, 22:05 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Erwartungswert Würfelspiel Hallo, hier habe ich ein Problem mit einer Aufgabe bzgl. eines Würfelspiels. Meine Ideen: ich bin gerade bei Aufgabeteil (i) meine Idee wäre folgende: die Wahrscheinlichkeit, dass bei k Würfen eine Zahl <6 rauskommt beträgt: (5/6)^k (wegen 5/6 bei jedem Wurf) Da jedoch der Gewinn bei der Zahl 6 auf 0 fällt, muss noch mit 3*k multipliziert werden (wegen (1+2+3+4+5)*1/5 *k für den Erwartungswert für die Zahlen <6 und das k mal (wegen den k-Schritten, bei denen nicht die 6 gefallen ist)). Was ich jedoch nicht verstehe ist, wieso man nicht die Summe davon nimmt, so, wie es beim Erwartungswert doch üblich ist. Könnte mich vllt. jemand aufklären? Liege ich mit meiner bisherigen Vorgehensweise richtig? Bei der Frage, bei welchem k der Erwartungswert maximal wird, habe ich durch rechnen (also einsetzen in die Formel) herausgefunden, dass der Erwartungswert bei k=5 und k=6 gleich hoch ist und danach wieder kleiner wird. Aber wie kommt man darauf, ohne die Zahlen einzusetzen? Gibt es dafür irgendeine Formel? Peinlicherweise verstehe ich nicht den Unterschied zwischen dem zweiten Teil der Frage (i) und der Frage in(ii). Kann mir vllt. jemand den Unterschied erklären? |
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| 09.01.2014, 10:25 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Erwartungswert Würfelspiel Was genau ist denn die Aufgabenstellung? 
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| 09.01.2014, 19:12 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Erwartungswert Würfelspiel oh, tut mir leid. da ist was schief gelaufen. Hatte eigentlich die Aufgabe als Anhang hochgeladen. hat wohl nicht funktioniert. Hier noch einmal als Anhang |
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| 09.01.2014, 20:40 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuch mal, den Erwartungswert explizit auszurechnen, d.h. als Summe zu schreiben. |
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| 10.01.2014, 21:27 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt komme ich selber durcheinander. Also die Wahrscheinlichkeit, dass bei den k Würfen keine 6 auftaucht ist (5/6)^k. Der Gewinn (welcher sich aus der Augenzahl zusammenstellt) wird in jeder Wurfrunde addiert. Der Erwartungswert für die Augenzahl beträgt hier 3 (wegen (1+2+3+4+5)*1/5). das muss ich bei jedem Wurf mit (5/6)^k multiplizert und das Ergebnis dann jeweils immer addiert. Als Summe sähe das ungefähr so aus: doch wenn ich das dann ausrechne, kommt doch nicht 3*k*(5/6)^k raus. Ich stehe hier gerade total auf dem Schlauch. Muss ich auch mit bedenken, dass der Gewinn bei der 6=0 ist? Eigentlich habe ich ja keinen Verlust. Man verliert ja nur das, was bisher an Gewinn zusammenaddiert wurde. Oder muss ich das auch mit einbeziehen? |
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| 11.01.2014, 13:45 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Nehmen wir an dass wir k Runden spielen. Die Wahrscheinlichkeit dass wir gewinnen ist . Der Gewinn bis dahin ist die Summe aller Augenzahlen, also Nun multiplizierst du beides miteinander und kommst auf . |
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| 11.01.2014, 18:38 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ach...jetzt verstehe ich`s. Ich habe die ganze Zeit versucht, die Wahrscheinlichkeit auch in die Summe mit einzubeziehen (also bei jedem Wurf die (5/6)^k mit dem Gewinn zu multiplizieren) daher hat es nie funktioniert. Jetzt ist es mir klar. Vielen Dank! Noch kurz zum zweiten Teil wegen der Frage, bei welchem k der Gewinn maximal wird. Reicht es aus, wenn ich die Zahlen einfach einsetze? Also ich habe durch einsetzen quasi "ausgerechnet", dass der Gewinn bei k=5 und k=6 jeweils gleich ist und danach wieder sinkt. Gibt es dafür auch eine "mathematische Erklärungsmethode" oder geht das nur durch reines Einsetzen in die Gleichung? Zudem verstehe ich den Unterschied zu Aufgabenteil (ii) nicht. Für mich klingen die sehr ähnlich. Könntest du mir da vllt. helfen oder nen Tipp geben? |
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| 11.01.2014, 18:44 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) Ja, Einsetzen sollte da reichen, zumindest wenn k nicht allzu groß wird. Du könntest auch die Ableitung bestimmen und dann auf/abrunden. 2) Naja, "ähnlich" schon, aber nicht gleich. Ist dir der Unterschied zwischen i) und ii) klar? |
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| 11.01.2014, 20:45 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ableiten? meinst du die Funktion so, wie sie da steht mithilfe der Kettenregel? Stelle ich mir ein wenig kompliziert vor, wegen dem hoch k (was ja dann bei der Ableitung zu ln...wird) nein, der Unterschied ist mir leider nicht klar. Ich merke, dass da einer sein muss, aber irgendwie komme ich nicht drauf. |
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| 11.01.2014, 21:52 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 12.01.2014, 16:07 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich glaube ich verstehe ungefähr, was du meinst. Weiß leider beim besten Willen nicht, wie ich das ausrechnen soll. Ich komme einfach nicht drauf, was ich hier berechnen soll. Vllt. habe ich es auch nicht zu 100% verstanden. Das bringt mich irgendwie total durcheinander. Also wie sieht denn der vorher festgelegte Gewinn aus? Muss das nicht mein maximaler, erwarteter Gewinn sein? Also den, den ich bei Aufgabenteil (i) ausgerechnet habe? das wäre doch nach 5 bzw. 6 Runden (der erwartete Gewinn ist da gleich, also ca. 6). Und was ist nun mein N? Das sollte doch der Maximale Gewinn von 6 sein, da doch danach der Gewinn wieder fällt und daher der Zuwachs vom positiven ins negative fällt? Ich verstehe den Sinn von diesem Aufgabenteil überhaupt nicht...weiß gar nicht, was ich da ausrechnen soll bzw. wie das geht 
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| 12.01.2014, 17:33 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: Du legst dir vorher eine Gewinnsumme fest, z.B. Punkte. Du spielst solange weiter bis du mindestens diese Summe erreicht hast. Dann hörst du auf. Daher weißt du auch eben nicht im Vorraus, wie viele Runden du spielen wirst. Das hat mit Aufgabe a) erstmal gar nichts zu tun. |
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| 13.01.2014, 12:16 | Lomex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt verstehe ich zumindest, was in der Aufgabe verlangt ist. Jetzt frage ich mich, wie ich das ausrechnen soll. Könnte es sein, dass ich dafür das Gesetz der großen Zahlen verwenden muss? Oh je...ich merke echt, dass ich mit diesem Thema noch so meine Probleme habe. Stochastik war nie mein Spezialgebiet... |
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