Basiswechselmatrix

09.01.2014, 01:13	edi	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechselmatrix Meine Frage: Sei K ein Körper, in dem 2 invertierbar ist. Wir betrachten die lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} \alpha : K ^{3} \Rightarrow K ^{2}, \alpha ((x,y,z))=(x+2y+5z,4x+y+z) \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} M_{C}^{B} (\alpha ) \end{eqnarray}$ , wobei B = ((1,2,3),(2,2,0),(0,0,1)) und C = ((1,1),(0,1)) sind. Meine Ideen: Ich habe eingesetzt und folgende Gleichungen aufgestellt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a_{1}\begin{pmatrix} 20 \\ 9 \end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix} + a_{3}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = b_{1}\begin{pmatrix} 20 \\ 9 \end{pmatrix} + b_{2}\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix} + b_{3}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da wir jeweils zwei Gleichungen und drei Variablen haben, ist $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{3} \end{eqnarray}$ frei wählbar. Als letztes habe ich die Gleichungen nach $\begin{eqnarray} a_{1},a_{2},b_{1},b_{2} \end{eqnarray}$ aufgelöst und habe erhalten: $\begin{eqnarray} a_{1}= \frac{5}{292}-\frac{88}{292}a_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{2}= \frac{22}{292}+\frac{50}{292}a_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{3}= a_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{1}= -\frac{12}{292}-\frac{88}{292}b_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{2}= \frac{40}{292}-\frac{25}{292}b_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_{3}= b_{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow M_{C}^{B} = \begin{pmatrix} \frac{5}{292}-\frac{88}{292}a_{3} & -\frac{12}{292}-\frac{88}{292}b_{3} \\\frac{22}{292}+\frac{50}{292}a_{3} & \frac{40}{292}-\frac{25}{292}b_{3}\\ a_{3} & b_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt der Weg und meine Lösung?
09.01.2014, 11:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da stimmt aber auch gar nichts. In den Spalten der Darstellungsmatrix müssen die Bilder der Basisvektoren B stehen, also deren Koeffizienten in der Basis C. Wenn du das machst, ist alles ganz einfach.
09.01.2014, 16:19	edi	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich nicht für die gleichung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a1\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +a2\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +a3\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ alpha auf die vektoren aus b anwenden?
13.01.2014, 17:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann nicht sein, denn links steht ein Vektor aus $\begin{eqnarray} K^2 \end{eqnarray}$ , rechts ein Vektor aus $\begin{eqnarray} K^3 \end{eqnarray}$ , das passt nicht zusammen. Die Bilder der Basisvektoren des $\begin{eqnarray} K^3 \end{eqnarray}$ unter der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha:K^3 \to K^2 \end{eqnarray}$ hast du schon berechnet, dabei sind alle Koordinaten auf die Standardbasen bezogen. Jetzt musst du nur noch verstehen und richtig hinschreiben. Es ist $\begin{eqnarray} \alpha \begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 20 \\ 9 \end {pmatrix} = 20 \begin {pmatrix} 1 \\ 1 \end {pmatrix} -11 \begin {pmatrix} 0 \\ 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ das Bild des ersten Basisvektors aus B, dargestellt in der Basis C , also ist $\begin{eqnarray} M_C^B(\alpha) = \begin {pmatrix} 20 & & * & \\ -11 & * & * \end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

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