Wärmeleitung DGL konkretisieren und anwenden

09.01.2014, 11:17	Dori :)	Auf diesen Beitrag antworten »
Wärmeleitung DGL konkretisieren und anwenden Hallo zusammen, ich versuche gerade für eine Projektarbeit eine DGL zur Wärmeleitung zu formulieren. Gesucht ist die Wärmeverteilung über der Zeit t und dem Ort x für einen Balken der Länge L und dem Querschnitt A. Leider fehlt mir ein Plan zur Lösung solcher Aufgaben/DGLs, darum hangel ich mich mit Hilfe diverser Veröffentlichungen durch. Vielleicht könnt ihr mir einen Fahrplan zur Lösung einer solchen Aufgabe geben? Bisher bin ich soweit gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial\vartheta(x,t)}{\partial t}= \frac{ \lambda}{c\cdot \rho} \cdot\frac{\partial²\vartheta(x,t)}{\partial x²}<br /> \end{eqnarray}$ Dann habe ich den Seperationsansazu mit $\begin{eqnarray} \vartheta(x,t)=X(x)\cdot T(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{T'(t)}{\kappa T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}=konst.=-k² \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \frac{ \lambda}{c\cdot \rho} \end{eqnarray}$ benutzt und erhalte für die Zeitabhängigkeit $\begin{eqnarray} T(t)=D\cdot e^{-\kappa k² t} \end{eqnarray}$ und die Temperaturabhängigkeit $\begin{eqnarray} X(x)=A\cdot cos(kx)+B\cdot sin(kx) \end{eqnarray}$ Somit ergbibt sich als allgemeiner Lösung der pariellen DGL: $\begin{eqnarray} \vartheta(x,t)=e^{-\kappa k² t}\cdot (a\cdot cos(kx)+b\cdot sin(kx)) \end{eqnarray}$ Mein Balken ist isoliert, d.h. es tritt an den Enden keine Wärmeübertragung zu Luft auf. Kann ich das in der Form formulieren? $\begin{eqnarray} \vartheta_x(x=0,t)=\vartheta_x(x=L,t)=0 \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich meine allgemeine Lösung (s.o.) differenzieren, die Randbedingungen einsetzten und meine Parameter a und b errechnen. Korrekt? Viele Grüße und ein dickes "Danke", Dori
09.01.2014, 15:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht schon richtig aus. Es gibt aber unendlich viele Eigenwerte k² und folglich unendlich viele Eigenfunktionen X(x). Diese musst du alle bestimmen, indem du das zugehörige Eigenwertproblem löst. Die gesuchte zeitabhängige Temperaturverteilung im Balken ist nämlich eine Summe aus aus unendlich vielen Eigenfunktionen (Fourrier-Reihe). Du benötigst noch eine Anfangsbedingung, also die Temperaturverteilung T(x,0), woraus dich die unendlich vielen Koeffizienten A, B ergeben.
10.01.2014, 18:31	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort und Hilfe. hier meine Fortsetzung: $\begin{eqnarray} \vartheta_x(x=0,t)=\vartheta_x(x=L,t)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte $\begin{eqnarray} k_n=\frac{n\cdot pi}{L}x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \vartheta_n(x,t)=a_n \cdot e^{-\kappa k² t}\cdot cos( \frac{n \pi}{L}x ) \end{eqnarray}$ und superpositioniert $\begin{eqnarray} \vartheta(x,t)= \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \cdot e^{-\kappa k² t}\cdot cos( \frac{n \pi}{L}x ) \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ erhält man nun mit der Anfangstemperaturverteilung $\begin{eqnarray} \vartheta(x,t=0)= T_0(x)= \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \cdot cos( \frac{n \pi}{L}x ) \end{eqnarray}$ Laut einer mir vorliegenden Veröffentlich müssten diese $\begin{eqnarray} a_n= 2\cdot \frac{1}{L} \cdot \int_0^L \! T_0(x) \cdot cos(\frac{n\cdot \pi}{L}x) \, dx \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} a_0= \frac{1}{L} \cdot \int_0^L \! T_0(x) \, dx \end{eqnarray}$ Allerdings verstehe ich nicht woher das kommt und warum sich der Zusammenhang für $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ergibt. Könnt ihr mir dabei helfen? Edit: Im nächsten Schritt würde ich das Ganze gern für reale Werte konkretisieren Danke und viele Grüße, Dori
12.01.2014, 20:51	Dorika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo zusammen, passt die Lösung? Was muss ich jetzt tun? Viele Grüße, Dori
13.01.2014, 10:46	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast im Prinzip alle Schritte richtig hingeschrieben. Um deine Fragen nach dem "Warum" zu beantworten, motiviere ich dir die einzelnen Schritte. --------------- Zu lösen war die Wärmeleitungsgleichung für die Temperaturverteilung T(x,t) eines Balkens im Intervall [0;pi] $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\kappa}\cdot \tfrac{\partial T}{\partial t}=\tfrac{\partial^2 T}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ Zuerst löst man immer das zugehörige Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 T(x)}{\partial x^2}=-\lambda T(x) \end{eqnarray}$ mit den Randbedingungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial T(0)}{\partial x}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial T(L)}{\partial x}=0 \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte und Eigenfunktionen hast du richtig bestimmt: $\begin{eqnarray} \lambda =n^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_n(x)=\sqrt{\tfrac{2}{L}}\cdot \cos\left ( \tfrac{n\pi x}{L}\right ) \end{eqnarray}$ Der Vorfaktor $\begin{eqnarray} \sqrt{\tfrac{2}{L}} \end{eqnarray}$ kommt durch die Normierung der Eigenfunktionen auf 1 hinzu. Die Eigenfunktionen sind im Intervall [0;pi] vollständig. Man kann also entlang des Balkens jede Funktion nach ihnen entwickeln - insbesondere die gesuchte Temperatur T(x,t) zu einer beliebigen aber festen Zeit t. Also macht man für einen beliebigen Zeitpunkt t den Ansatz $\begin{eqnarray} T(x,t)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_n(t)T_n(x) \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten c(t) hängen von der Zeit ab, weil die Temperaturverteilung für jden Zeitpunkt anders ist (Es wird aber zu jedem Zeitpunkt nach denselben Eigenfunktionen entwickelt!). Die Koeffizineten c(t) bestimmt man durch Einsetzen dieses Ansatzes in die Wärmeleitungsgleichung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \tfrac{1}{\kappa}\tfrac{dc_n}{dt} T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty c_n(t) \underbrace{\tfrac{\partial^2 T_n}{\partial x^2}}_{-\lambda_nT_n=-n^2T_n} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite ersetzen wir die 2.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 T_n}{\partial x^2} \end{eqnarray}$ mit dem Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2 T_n}{\partial x^2}=-\lambda_n T_n=-n^2T_n \end{eqnarray}$ und machen anschließend einen Koeffizientenvergleich auf beiden Seiten. Dieser führt auf eine gewöhnliche Dgl. für die Koeffizienten c(t) $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\kappa}\tfrac{dc_n}{dt}=-n^2c_n \end{eqnarray}$ Daraus folgen die Koeffizienten, die aber noch auf einen Faktor $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ unbestimmt sind $\begin{eqnarray} c_n(t)=A_ne^{-\kappa n^2t} \end{eqnarray}$ Setzt man diese Koeffizienten c(t) und die Eigenfunktionen Tn(x) in den obigen Ansatz ein, erhält man die Reihe $\begin{eqnarray} T(x,t)=\sum\limits_{k=0}^\infty A_ne^{-\kappa n^2t}\sqrt{\tfrac{2}{L}}\cdot \cos\left ( \tfrac{n\pi x}{L}\right ) \end{eqnarray}$ Die Konstanten A ergeben sich aus der Anfangstemperatur T(x,0). Zum Zeitpunkt t=0 ergibt der expotentielle Term den Wert $\begin{eqnarray} e^{-\kappa n^2\cdot 0}=1 \end{eqnarray}$ , so dass die Lösung zu Beginn lautet $\begin{eqnarray} T(x,0)=\sum\limits_{k=0}^\infty A_n \sqrt{\tfrac{2}{L}}\cdot \cos\left ( \tfrac{n\pi x}{L}\right ) \end{eqnarray}$ Daraus folgt $\begin{eqnarray} A_n=\int_{x=0}^{\pi} T(x,0)\cdot \sqrt{\tfrac{2}{L}}\cdot \cos\left ( \tfrac{n\pi x}{L}\right )\,\,dx \end{eqnarray}$ Damit kann man die vollständige Reihe hinschreiben.

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