Bewegung Punktmasse und potentielle Energie

09.01.2014, 17:15

Margarita90

Bewegung Punktmasse und potentielle Energie

Hallo zusammen,

ich brauche mal einen Anstoß von euch, damit ich beginnen kann, eine Aufgabe zu bearbeiten.

Es geht um ein ein-dimensionales mechanisches System, das die Bewegung eines Punktes (Masse m=1) unter dem Einfluss einer potentiellen Energie $\begin{eqnarray*} U(q)=\frac{q^4}{a+bq^2} \end{eqnarray*}$ beschreibt. a und b sind Parameter.

Nun soll ich als erstes herausfinden, für welche Werte von a und b der Ursprung q=0 ein stabiler Fixpunkt ist. Dafür brauch ich aber eine DGL.
Wie komme ich denn auf die zugrundeliegende DGL? Um welche Argumente geht es da überhaupt? U'=f(U)?

Danke und lieben Gruß!

10.01.2014, 08:45

Huggy

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RE: Bewegung Punktmasse und potentielle Energie
Ich nehme an, mit stabiler Fixpunkt ist ein Punkt gemeint, in dem die Masse in Rune bleibt, wenn man sie dort mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ hinsetzt, und um den die Masse eine schwingende Bewegung ausführt, wenn man sie etwas aus der Ruhelage auslenkt, oder wenn man sie mit einer Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ dort hinsetzt. Diese Punkte sind dadurch charakterisiert, dass das Potential dort ein Minimum hat.

10.01.2014, 11:19

Ehos

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In der Sprache der Schulmathematik lautet die Aufgabe wie folgt:

Man bestimme die Konstanten a, b so, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} U(q)=\tfrac{q^4}{a+bq^2} \end{eqnarray*}$ an der Stelle q=0 ein Minimum besitzt.

10.01.2014, 19:14

Margarita90

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Vielen Dank erstmal für eure Hilfe!

Ich hab das jetzt mal gemacht. Bis zur 3. Ableitung ist U an der Stelle q=0 aber auch 0. Bei der 4. gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{d^4 (U(q))}{dq^4}=24 a^3 \end{eqnarray*}$ . Mit a >0 ist diese Ableitung strikt positiv. Da es sich um eine geradzahlige Ableitung (4.) handelt, führt dies auf ein Minimum.
Ist das richtig so? Demnach ist b beliebig.

Dennoch frag ich mich: Ist das ein dynamisches System?

In der nächsten Teilaufgabe soll man nämlich das "dynamische System" um q=0 linearisieren und die Frequenz kleiner Oszillationen bestimmen...

Wie ich U'(q) linearisiere weiß ich. Falls das getan werden soll. Dann müsste ich noch wissen, was es mit den Oszillationen auf sich hat...

Vielen Dank schon jetzt!

11.01.2014, 09:10

Huggy

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Mein Rechner behauptet, die 4. Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} q=0 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} 24/a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das führt aber zur selben Schlussfolgerung.
Die Oszillationen sind die schwingenden Bewegungen eines Körpers um die Ruhelage.

11.01.2014, 12:14

Margarita90

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Ok, wegen der Ableitung schau ich nochmal. Allerdings hab ich es auch nicht per Hand, sondern mit einem Programm gemacht...

Für die Linearisierung von U'(q) ergibt sich doch dann

$\begin{eqnarray*} U_{lin}'(q)=U'(q_0)+\frac{dU'}{dq}|_{q_0} \cdot (q-q_0)=0 \end{eqnarray*}$

Das bringt einem doch gar nichts?? Irgendwas mach ich doch falsch..?

Hättet ihr bitte noch einen Rat?

11.01.2014, 14:10

Huggy

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Da die ersten Ableitungen im Arbeitspunkt $\begin{eqnarray*} q=0 \end{eqnarray*}$ Null ergeben, ist eine Linearisierung im wörtlichen Sinne nicht möglich. Man muss bis zur ersten nicht verschwindenden Ableitung gehen. Das führt auf eine DGL der Form

$\begin{eqnarray*} \ddot q= -cq^3 \text { mit } c>0 \end{eqnarray*}$

Diese hat laut Rechner eine Lösung in den Jacobischen elliptischen Funktionen. Diese Funktionen haben Ähnlichkeit mit den trigonometrischen Funktion. Insbesondere sind sie periodisch, können also einen Schwingungsvorgang beschreiben.

11.01.2014, 14:52

Margarita90

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Ah, das kommt doch bestimmt von der Taylorentwicklung?!
Also

$\begin{eqnarray*} U(q)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{U^{(k)}(q_0)}{k!}(q-q_0)^k \end{eqnarray*}$ .

Damit es linear bleibt, kann ich bis zur 4. Ableitung gehen und komme auf

$\begin{eqnarray*} U(q) \approx \frac{U^{4}(q_0)}{4!}q^4=\frac{q^4}{a} \end{eqnarray*}$ . (Du hattest recht mit 24/a, ich hatte mich mit den Potenzen vertan)

Wie bist du denn jetzt auf die DGL gekommen?

11.01.2014, 15:20

Huggy

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Zitat:

Original von Margarita90
Wie bist du denn jetzt auf die DGL gekommen?

Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} F=m\ddot q=-\frac{dU}{dq} \end{eqnarray*}$

12.01.2014, 18:05

Margarita90

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aha, hast du quasi 4/a zu c zusammengefasst? (nur damit ich weiß, dass ich es richtig verstanden habe)

Leider weiß ich trotzdem einfach nicht, wie ich aus der DGL auf eine bestimmte Frequenz schlussfolgern soll... Und die "Lösung" dieser DGL (von Wolframalpha) ist ja auch richtig kompliziert. Die wird mich wohl nicht weiterbringen unglücklich

13.01.2014, 09:35

Huggy

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Zitat:

Original von Margarita90
aha, hast du quasi 4/a zu c zusammengefasst? (nur damit ich weiß, dass ich es richtig verstanden habe)

Ja. Dabei kommt auch noch ein 1/m in die Konstante, wenn das Potential so definiert ist, wie ich es oben angenommen habe. Das Potential könnte aber auch so definiert sein, wie es bei der Gravitation üblich ist. Dann hätte man

$\begin{eqnarray*} F=-m \frac {dU}{dq} \end{eqnarray*}$

und m kürzt sich aus der Bewegungsgleichung heraus. Ich bleibe deshalb im folgenden mal bei der allgemeinen Bezeichnung c für die Konstante.

Zitat:

Leider weiß ich trotzdem einfach nicht, wie ich aus der DGL auf eine bestimmte Frequenz schlussfolgern soll... Und die "Lösung" dieser DGL (von Wolframalpha) ist ja auch richtig kompliziert. Die wird mich wohl nicht weiterbringen unglücklich

Ich habe mir die von Mathematica angegebene Lösung der DGL mit der Jacobischen elliptischen Funktion (JEF) noch mal angesehen. Sie ist tatsächlich nicht hilfreich. Das liegt aber nicht daran, dass sie kompliziert wäre. Es liegt daran, dass man diese Lösung der DGL nicht an vorgegebene Randbedingungen anpassen kann. Die DGL, die von der JEF gelöst wird, hat nämlich neben dem kubischen Term im allgemeinen auch noch einen linearen Term. Den linearen Term kann man zum Verschwinden bringen, wenn man der freien Konstanten in der DGL für die JEF einen speziellen Wert gibt. Dann hat man zwar eine Lösung für unsere DGL, aber die Konstante steht jetzt nicht mehr für die Anpassung der Lösung an Randbedingungen zur Verfügung.

Gehen wir das Problem daher mit dem Energiesatz an. Mathematisch bedeutet das die Überführung der DGL 2. Ordnung in eine DGL 1. Ordnung durch Multiplikation der DGL mit $\begin{eqnarray*} \dot q \end{eqnarray*}$ . Man erhält:

$\begin{eqnarray*} \ddot q \dot q =-cq^3 \dot q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {d}{dt}\left ( \frac {1}{2}\dot q^2 \right )=-\frac {d}{dt}\left ( \frac {c}{4}q^4 \right ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot q^2+\frac {c}{2}q^4 = const. =d \end{eqnarray*}$

Wählt man als Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} q(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot q(0)=v_0 \end{eqnarray*}$ , erhält man für die Kostante d:

$\begin{eqnarray*} d=v_0^2 \end{eqnarray*}$

Die DGL 1. Ordnung lautet daher:

$\begin{eqnarray*} \dot q = \pm \sqrt {v_0^2- \frac {c}{2}q^4} \end{eqnarray*}$

Aus ihr liest man unmittelbar die maximale Amplitude $\begin{eqnarray*} q_m \end{eqnarray*}$ ab, die die Schwingung erreicht. Sie ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} v_0^2- \frac {c}{2}q_m^4=0 \end{eqnarray*}$

Die DGL ist leicht lösbar, da es eine DGL mit getrennten Veränderlichen ist. Ich verwende das Plusvorzeichen.

$\begin{eqnarray*} \frac {\dot q}{\sqrt {v_0^2- \frac {c}{2}q^4}}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^q \frac {d \tilde q}{\sqrt {v_0^2- \frac {c}{2} \tilde q^4}}=\int\limits_0^t dt =t \end{eqnarray*}$

Wählt man als obere Grenze $\begin{eqnarray*} q_m \end{eqnarray*}$ , so erhält man die Zeit für 1/4 der Schwingungsperiode.

$\begin{eqnarray*} \frac {T}{4}=\int\limits_0^{q_m} \frac {d \tilde q}{\sqrt {v_0^2- \frac {c}{2} \tilde q^4}} \end{eqnarray*}$

Damit ist das Problem prinzipiell gelöst. Man darf sich nur nicht daran stören, das das verbleibende Integral ein elliptisches Integral ist.

Ich bin trotzdem noch etwas verwundert. In der Aufgabe wird von Linearisierung gesprochen. Eine echte Linearisierung ist aber nicht möglich. Und wie die Linearsierung anders gemeint sein könnte, will mehr nicht einfallen. Auch ist es für eine Übungsaufgabe ungewöhnlich, dass man dafür ein elliptisches Integral braucht. Kannst du etwas mehr über den Hintergrund der Aufgabe sagen? In welchem Zusammenhang wurde sie gestellt?

13.01.2014, 16:14

Margarita90

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Zitat:

Original von Huggy
Ja. Dabei kommt auch noch ein 1/m in die Konstante, wenn das Potential so definiert ist, wie ich es oben angenommen habe.

ach ja, m=1, das hatte ich verschwiegen und schon "absorbiert".

Vielen lieben Dank für den Weg, das kann man wirklich gut nachvollziehen. Danke!!

Zur gesamten Aufgabenstellung würde ich dir jetzt einfach mal den Link geben. Es handelt sich gleich um die erste Aufgabe.
http://page.math.tu-berlin.de/~petrera/MP1_WS13_sheet11.pdf

Viele liebe Grüße
Margarita90

14.01.2014, 10:59

Huggy

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Danke für den Link, auch wenn er zur Klärung der etwas ominösen "Linearisierung" nicht beiträgt.

14.01.2014, 15:01

Margarita90

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Ich kann dich ja gern nochmal informieren, wenn ich die Aufgaben zurückbekommen hab...

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