Konvergenzradius von Potenzreihen

09.01.2014, 18:32

NaNi94

Konvergenzradius von Potenzreihen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\geq 0} n^{\sqrt{n} }z^{n} \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, wie ich mit Wurzel n im Exponenten umgehen soll.

Meine Ideen:
Meine Idee war, das Wurzelkriterium anzuwenden aber da komme ich nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand von euch einen Tipp geben, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?

09.01.2014, 22:42

dastrian

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Hi!!

Zitat:

Original von NaNi94
Meine Idee war, das Wurzelkriterium anzuwenden aber da komme ich nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand von euch einen Tipp geben, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen muss?

Naja, Wurzelkriterium ist schon richtig, um die Formel von Cauchy-Hadamard anzuwenden. Wie weit bist du denn bis jetzt gekommen? Stell doch deinen Ansatz mal vor.

09.01.2014, 23:38

lolyolorofl

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Hallo,

du bist inzwischen sicherlich auf etwas ähnliches wie $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$ gekommen, oder?
Mein Vorschlag wäre jetzt z.B. allgemein zu zeigen, dass dieser Folge konvergiert (z.B. monoton fallend für große n und beschränkt von unten durch 1.
Wenn du das hast, kannst du eine Teilfolge finden, die gegen 1 konvergiert. Kleiner Tipp: es gibt eine Teilfolge, bei der die Wurzel verschwindet und deren Grenzwert bekannt ist.

Ich weiß blos nicht ob das mit dem Konvergenzbeweis nicht etwas schwierig ist. Also Monotonie.

10.01.2014, 20:40

NaNi94

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Ich bin leider nicht sehr weit gekommen, wenn das überhaupt richtig ist, was ich gemacht habe.

R = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{n^{\sqrt{n} } } } \end{eqnarray*}$

10.01.2014, 21:31

dastrian

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Das ist schonmal richtig. Wie kann man denn die n-te Wurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\ldots} \end{eqnarray*}$ von irgendetwas als Exponent schreiben?

11.01.2014, 12:22

NaNi94

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} n^{\frac{\sqrt{n} }{n} } \end{eqnarray*}$

11.01.2014, 12:33

NaNi94

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Ich habe mal weiter gemacht und jetzt das da stehen:

R = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{lim sup n^{\frac{1}{\sqrt{n} } } } \end{eqnarray*}$

11.01.2014, 15:24

dastrian

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
sehr gut. Jetzt heißt es herausfinden, wie sich $\begin{eqnarray*} n^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ verhält. Hattet ihr schon Exponential- und Logarithmusfunktion sowie den Stetigkeitsbegriff? Wenn ja, ist alles weitere recht einfach.

11.01.2014, 16:21

NaNi94

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Die Logarithmusfunktion hatten wir bisher noch nicht und in meinen Unterlagen finde ich nur den Begriff Exponentialreihe. Mit der Stetigkeit haben wir gerade erst begonnen und noch nicht viel dazu gemacht außer folgende Definition augeschrieben:

Eine Funktion heißt stetig im Punkt xo, wenn für alle Folgen (xn) n Element N gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{0} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = f( x_{0}) \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich nicht, wie mich das weiterbringt.

11.01.2014, 17:09

dastrian

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Schade. Ich hatte gefragt, weil bei uns Stetigkeit, Exponentialfunktion und Logarithmus normalerweise vor den Weihnachtsferien drankommen.

Aber gut, dann vergiss das mal wieder. Wie beweisen wir das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} n^\frac{1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ ? Dazu sind die Tips da, die dir lolyolorofl gegeben hat: $\begin{eqnarray*} n^\frac{1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und beschränkt, also konvergent. Es existiert also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} n^\frac{1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ und zur Berechnung reicht es, eine Teilfolge anzuschauen. Nutze lolyolorofl's Tip!

12.01.2014, 22:14

NaNi94

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RE: Konvergenzradius von Potenzreihen
Ok jetzt hab ich's! Vielen vielen Dank für eure Hilfe!!! smile

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